Odcinek

Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych XYZ odcinek o końcach $(x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2)$ jest zbiorem punktów $(x,y,z)$ opisanych układem równań

$\left\{ \begin{array}{l} x=x_1+t(x_2-x_1), \\ y=y_1+t(y_2-y_1), \\ z=z_1+t(z_2-z_1), \end{array} \right.$

albo równoważnie

$\left\{ \begin{array}{l} x=(1-t)x_1+tx_2, \\ y=(1-t)y_1+ty_2, \\ z=(1-t)z_1+tz_2, \end{array} \right.$

gdzie

$0\leqslant t\leqslant 1.$

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:

$x=x_1+t(x_2-x_1),\;$

czyli:

$x=(1-t)x_1+tx_2\;$

przy $0\leqslant t\leqslant 1$, stając się równoważną definicji przedziału $[x_1, x_2]$.
W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek AB (tzn. odcinek o końcach A i B będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących "pomiędzy" A i B jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:

$AB\ =\ \{ (1-t)\cdot A+t\cdot B :\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.$

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach A i B można definiować jako zbiór punktów X tej przestrzeni leżących "pomiędzy" A i B jako spełniających warunek:

odległość od A do B równa jest sumie odległości od A do X i od X do B.

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:

$\sigma_{AB}=\sigma_{AX}+\sigma_{XB},\;$

gdzie $\sigma_{PQ}$ jest odległością pomiędzy P i Q według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

Zobacz też

• prosta