Odległość punktu od prostej

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne $(x_P, y_P)$, a prosta k dana jest równaniem ogólnym $Ax+By+C=0$, to odległość $d(P,k)$ punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:

$d(P,k) = \frac {|A\,x_p+B\,y_p+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego.

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

$\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}$

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

$\| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} \|.$

Wzór ten stosuje się dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: $\mathbf{a}-\mathbf{p}$ jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem $(\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{n}$ jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

$((\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$

jest wektorem – rzutem wektora $\mathbf{a}-\mathbf{p}$ na prostą. Stąd wektor

$(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$

jest składową wektora $\mathbf{a}-\mathbf{p}$ prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.