Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta - uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana $\Phi^{-1}(p)$

Jeżeli dystrybuanta $\Phi(x)$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

$\Phi^{-1}(p) = \{ x \in \R : p = \Phi(x) \}$, gdzie $p \in (0,1)$.

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się definiując dystrybuantę odwrotną jako:

$\Phi^{-1}(p) = \inf \{ x \in \R : p \le \Phi(x) \}$, gdzie $p \in (0,1)$.

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

• $\Phi^{-1}(p)$ jest rosnąca dla $p \in (0,1)$,
• $\Phi^{-1}(p)$ jest lewostronnie ciągła dla $p \in (0,1)$,
• $\Phi^{-1}(\Phi(x)) \le x$ dla $x \in \R$ takiego, że $\Phi(x) \in (0,1)$,
• $p \le \Phi(\Phi^{-1}(p))$ dla $p \in (0,1)$.

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu $\operatorname{erf}$:

$\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).$

gdzie:

• $\mu$ to wartość oczekiwana rozkładu
• $\sigma^2$ to wariancja rozkładu