Odwzorowanie regularne

Odwzorowanie regularne – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej.

Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz $D$ niepustym podzbiorem $X$. Odwzorowanie $F\colon D \to Y$ nazywamy regularnym, jeśli

1. $D$ jest zbiorem otwartym,
2. $F$ jest klasy $C^1$,
3. $\forall_{x \in D}$$dF(x)$ jest ciągłym izomorfizmem liniowym $X$ do $Y$.

Własności

• Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami Banacha, $D \subseteq X$, a odwzorowanie $F\colon D \to Y$ jest regularne, to dla każdego otwartego $U \subseteq D$ zbiór $F(U)$ jest otwarty.
• Złożenie odwzorowań regularnych jest regularne.
• Każdy dyfeomorfizm jest odwzorowaniem regularnym, lecz nie na odwrót:
  Odzworowanie $F: (0, \infty) \times \mathbb R \to \mathbb R^2$ określone wzorem $F(x_1, x_2)=(x_1\cos x_2, x_1\sin x_2)$ jest regularne, ale nie jest odwracalne (ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych), a więc nie jest dyfeomorfizmem.

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• homeomorfizm
• rozmaitość różniczkowa