Okrąg dopisany

Na pomarańczowo zaznaczone są trzy okręgi dopisane do trójkąta ΔABC

Okrąg dopisany do trójkąta – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.

Pole trójkąta

Przyjmując $r_a$ - promień okręgu dopisanego naprzeciw wierzchołka A oraz $a,b,c$ - boki naprzeciw odpowiednich wierzchołków, otrzymujemy wzór na pole trójkąta:

$S=\frac{1}{2}r_a(b+c-a)$

Dowód

Przedłużając boki $b$ i :$c$ oraz prowadząc prostą styczną do okręgu dopisanego przecinającą te przedłużenia uzyskujemy trójkąt AB'C', dla którego jest to okrąg wpisany. Jest on również wpisany w czworokąt BCC'B'. Pole większego trójkąta wyraża się wzorem:

$S=\frac{1}{2}r_a(a'+b'+c')$

a czworokąta:

$S=\frac{1}{2}r_a(a+(b'-b)+a'+(c'-c))$

Pole trójkąta jest różnicą tych pól.

Zobacz też

• okrąg opisany na wielokącie
• okrąg wpisany