Oktawy Cayleya

Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo - osiem), liczby Cayleya - rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: Johna T. Gravesa w roku 1843 i Arthura Cayley'a w roku 1845.

Oktawy są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.

Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ i e₇. Gdzie e₁...e₇ podniesione do kwadratu dają -1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniem wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

·	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	e1	-1	e4	e7	-e2	e6	-e5	-e3
e2	e2	-e4	-1	e5	e1	-e3	e7	-e6
e3	e3	-e7	-e5	-1	e6	e2	-e4	e1
e4	e4	e2	-e1	-e6	-1	e7	e3	-e5
e5	e5	-e6	e3	-e2	-e7	-1	e1	e4
e6	e6	e5	-e7	e4	-e3	-e1	-1	e2
e7	e7	e3	e6	-e1	e5	-e4	-e2	-1

Kolejność w mnożeniu to wiersze (e_i) - kolumny (e_j). Stąd też:

$e_i e_j = - e_j e_i = -e_k \,$

$e_i e_j = e_k \rightarrow e_{i+1} e_{j+1} = e_{k+1} \,$

$e_{2i} e_{2j} = e_{2k} \,$

Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu.

Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów.

Szczególnym przypadkiem oktaw Cayleya są:

• liczby rzeczywiste,
• liczby zespolone,
• kwaterniony.

Oktawy Cayleya są szczególnym przypadkiem:

• sedenionów

Zobacz też

• Liczba
• Liczby hiperzespolone

Linki zewnętrzne

• The Octonions - artykuł Johna C. Baeza