Operator delta

W matematyce operator delta to pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu $Q:\mathbb K[x] \longrightarrow \mathbb K[x]\,$ w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną $x \,$, nad ciałem $\mathbb K$, które redukuje stopnie o jeden.

Wstęp

Stwierdzenie, że $Q\,$ jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli $g(x) = f(x + a)\,$ to wówczas

${ (Qg)(x) = (Qf)(x + a)}.\,$

Innymi słowy, jeśli $f\,$ jest "przesunięciem" $g\,$, wówczas $Qf\,$ jest także przesunięciem $Qg\,$, i ma taki sam "wektor przesunięcia" $a\,$.

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jesli $f\,$ jest wielomianem stopnia $n\,$, wówczas $Qf\,$ jest albo wielomianem stopnia $n-1\,$ albo, w przypadku $n = 0\,$, $Qf\,$ jest równy $0\,$.

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej $x\,$, która przekształca $x\,$ do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna jako, że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady

• Operator różnicowy w przód

$(\Delta f)(x) = f(x + 1) - f(x)\,$

jest operatorem delta.

• Różniczkowanie względem $x\,$, zapisywane jako $D\,$, także jest operatorem delta.

• Każdy operator w formie

$\sum_{k=1}^\infty c_k D^k$

(gdzie $D^{n}(f)=f^{(n)}\,$ jest n-tą pochodną) z $c_1\neq0$ jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

$\Delta=e^D-1=\sum_{k=1}^\infty \frac{D^k}{k!}.$

• Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.

• W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta $\delta\,$ zwykle oznacza operator różnicowy:

${(\delta f)(x) = {{ f(x+\Delta t) - f(x) } \over {\Delta t} }},$

aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania $\Delta t\,$. Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania

Posługując się zmienną płaszczyzny z ($z=e^{sT}\,$) operator delta można wyrazić jako

$\delta = \frac{z-1}{T}\,$

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia można też zapisać

$\delta = \frac{q-1}{\Delta}\,$

gdzie $q\,$ to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością $qx_{k}=x_{k+1}\,$ a ${\Delta}\,$ oznacza okres próbkowania, stąd:

$\delta x_{k} = \frac{(q-1)x_{k}}{\Delta}= \frac{x_{k+1}-x_{k}}{\Delta}\,$

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

$\delta x_{k} \approx \frac{dx}{dt}|_{x=x(k\Delta)}\,$

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator $\delta\,$ ma swój czasowy odpowiednik $\rho = \frac{d}{dt}\,$, modele wyrażone za pomocą operatora $\delta\,$ są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora $\rho\,$, lub zmiennej s (transformaty Laplace'a). Z tego też względu korzystanie z operatora $\delta\,$ pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego. Chociaż $\rho\,$ używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, moze też reprezentować operator $\delta\,$. Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń $\rho\,$ może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie $\rho\,$ przez $\delta\,$:

$\rho\,$=$\left \{ {\frac{d}{dt}~~\Delta =0 \atop \delta~~\Delta \neq{0}} \right.$

powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemann'a. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego - używając operatora $\delta\,$ w dziedzinie czasu dyskretnego można przyjąć dla niego $\Delta = 0\,$ co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora $\delta\,$ definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata $\Gamma \,$ z nową zmienną $\gamma \,$ jako:

$F_{\Delta} (\gamma) = F(z)|_{{z=\Delta_{\gamma+1}}}=\sum_{k=0}^{k=\infty}f_{k}(1+\Delta\gamma)^{-k}\,$

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora $\delta\,$ daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia $q\,$. Dotyczy to w szczególności

• przy filtracji cyfrowej: skutków skończonej długości słowa, wrażliwości odpowiedzi częstotliwościowej, efektów zaokrąglania
• przy optymalnej estymacji stanu: warunkowania równań Riccatiego
• estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów: warunkowania macierzy kowariancji.

Operator $\delta\,$ ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora $\delta\,$ staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia

• Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation [w:] N.K. Sinha i G. P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1336-4
• Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, ISBN 0-13-211798-3