Operator różniczkowy

Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.

Przykład

Rozważmy operator różniczkowy $T\colon C_2((0,1),\mathbb{R})\to C((0,1),\mathbb{R})$ dany wzorem:

$Tf = \frac{d^{2}f}{dx^{2}} + \frac{df}{dx}$

Może on działać tylko na funkcje klasy $C^{1}$, czyli funkcje ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne. Policzmy wartość tego operatora na funkcji:

$f(x) = e^{-x}(x^{2}+x+1) \,$.

Otrzymamy wtedy:

$Tf(x) = \left( \frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{d}{dx}\right) \left( e^{-x}(x^{2}+x+1) \right)$

$Tf(x) = e^{-x}(1-2x) \,$.