Orientacja (matematyka)

Układ lewoskrętny (po lewej) i prawoskrętny

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

Przestrzeń liniowa

Niech $X$ będzie $n$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów $a_1, \dots, a_n$ oraz $b_1, \dots, b_n$ jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia $P_{ab}$ od bazy $(a_i)$ do $(b_i)$ jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia $P_{ba}$ od bazy $(b_i)$ do $(a_i)$ jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy $(a_i), (b_i)$ przestrzeni $X$ są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia $P_{ab}$ jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni $X$ jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli $(a_i)$ jest ustaloną bazą $X$, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą $-a_1, a_2, \dots, a_n$. Jeżeli $\tau$ jest orientacją $X$, to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem $\tau$ i oznaczamy $-\tau$.

Parę $(X, \tau)$, czyli przestrzeń liniową $X$ wraz z ustaloną jej orientacją $\tau$ nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni $\mathbb R^n$ wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.

Zobacz też

• powierzchnia zorientowana

Bibliografia

• A. Birkolc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.