Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.

Proces został nazwany na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego, oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego.

Proces ortogonalizacji

Operator rzutowania ortogonalnego wektora $\mathbf{v}$ na wektor $\mathbf{u}$ definiujemy jako:

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.$

Wówczas dla układu k wektorów $\{\mathbf{v}_1, \ldots,\mathbf{v}_k\}$ proces przebiega następująco:

Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji

$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2,$

$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3,$

$\vdots$

$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k,$

Otrzymany zbiór $\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_k\}$ jest zbiorem wektorów ortogonalnych.

Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:

$\mathbf{e}_n = {\mathbf{u}_n\over||\mathbf{u}_n||}, n=1, 2, ..., k$

Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.

Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni unitarnej.

Własności numeryczne tego algorytmu nie są zbyt dobre i uzyskane wektory nadal nie są ortogonalne (za sprawą błędów zaokrągleń), toteż w praktyce powtarza się proces dokonując reortogonalizacji.

Funkcje ciągłe

Jeżeli iloczyn skalarny funkcji ciągłych jest określony wzorem:

$\langle f,g\rangle _w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.$

gdzie $w(x)$ jest funkcją wagową, to dla zbioru funkcji liniowo niezależnych przekształcenie w zbiór funkcji ortogonalnych przebiega następująco:

$g_0(x) = f_0(x)$

$g_i(x) = f_i(x) - \sum_{j=0}^{i-1} g_j(t)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt}$

Iloczyn skalarny funkcji $g_i(x)$ i $g_j(x)$ dla różnych $i$,$j$ wynosi (bez straty ogólności przyjmijmy, że $i>j$):

$\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) g_j(t) f_i(t) dt - \int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_j(s)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt} ds +$

$- \sum_{k=0 \and k\ne j}^{i-1} \frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_k(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_k^2(t) dt} \int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_k(s) ds$

Jeśli dla wszystkich różnych par $j,k$ mniejszych od $i$ iloczyn skalarny wynosi 0, to:

$\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) g_j(t) f_i(t) dt - \int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_j(s)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_k(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_k^2(t) dt} ds$

$\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) f_i(t) g_j(t) dt - \frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt} \int\limits_a^b w(s) g_j^2(s) ds$

$\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) f_i(t) g_j(t) dt - \int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt = 0$

Bibliografia

• Mostowski A., Stark, M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1958, wydanie czwarte, ss. 140-142

Zobacz też

• Wielomiany ortogonalne