Ortonormalność

Ortonormalność – ortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami). Jest to podstawowa własność wektorów bazy ortonormalnej danej przestrzeni unitarnej.

Definicja

Wektory $x, y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot\rangle$ są ortonormalne, jeżeli

$\langle x, y\rangle = \begin{cases} 0, & x \ne y \\ 1, & x = y \end{cases}$

Zbiór wektorów parami ortonormalnych $\{v_i\}_{i=1}^n$ nazywa się układem ortonormalnym, wtedy też

$\langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij}$,

gdzie ostatni symbol nazywa się czasami deltą Kroneckera.

Ortonormalizacja

Jeżeli dany jest układ wektorów ortogonalnych $\{v_i\}_{i=1}^n$, to można go przekształcić do układu ortonormalnego $\{w_i\}_{i=1}^n$ za pomocą transformacji

$w_{i} = \frac{v_i}{\sqrt{\langle v_i, v_i\rangle}} = \frac{v_{i}}{\|v_i\|}$.

Powyższa operacja nazywana bywa również unormowaniem ortogonalnego układu wektorów.

Funkcje ortonormalne

Podobnie jak dla funkcji ortogonalnych rozpatruje się również abstrakcyjne przestrzenie unitarne wielomianów, czy dowolnych funkcji, gdzie mówi się o wielomianach ortonormalnych i funkcjach ortonormalnych.