Otoczenie (matematyka)

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli $x \in X$, gdzie $X$ jest przestrzenią topologiczną, to zbiór $V$ jest otoczeniem punktu $x$, gdy istnieje zbiór otwarty $U \subseteq V$ taki, że $x \in U .$

Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Jeżeli $S$ jest podzbiorem $X$, pod pojęciem otoczenia zbioru $S$ rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera $S$. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.

Rodzina wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest bazą otoczeń (punktu).

Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej $X$ z metryką $d$ otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: $V$ jest otoczeniem punktu $p$ jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie $p$ i promieniu $r$

$B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}$

zawarta w zbiorze $V .$

Otoczeniem jednostajnym zbioru $S$ w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór $V$ o tej własności, że istnieje liczba $r > 0$ taka, że dla każdego $p \in S$ kula otwarta

$B_r(p) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}$

zawarta jest w zbiorze $V$. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru $S .$

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu $x$ zbioru $X$ dana jest pewna rodzina $B(x)$ podzbiorów zbioru $X$ spełniająca poniższe warunki:

1. $x \in U$ dla dowolnego $U \in B(x),$
2. dla dowolnego $U \in B(x)$ istnieje $V \in B(x)$ takie, że $\bigwedge\limits_{y \in V} U \in B(y) ,$

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze $X$. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem $x$ zawiera również pewien zbiór z rodziny $B(x) .$

Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli $V$ jest otoczeniem punktu $x$, to zbiór $V_x = V \setminus \{ x \}$ jest sąsiedztwem punktu $x .$

Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu $x$ jest dowolny przedział otwarty $(a,b)$ taki, że $a < x < b$. Sąsiedztwem punktu $x$ jest wówczas zbiór $(a,b) \setminus \{ x \} = (a,x) \cup (x,b) .$

Otoczeniem otwartym punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).