Półnorma

Półnorma - podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, tj. każda funkcja p: X → [0, ∞), gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki

1. $p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$
2. $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)\,$

dla wszystkich elementów $x,y$ przestrzeni $X$ oraz wszystkich skalarów $\alpha$.

Własności

Jeżeli $p$ jest półnormą w przestrzeni $X$, to

• $|p(x)-p(y)|\leqslant p(x-y)$ dla wszystkich $x,y\in X$,
• $p(x)\geqslant 0$ dla wszystkich $x,y\in X$,
• $p(0)=0$.

Ponadto zbiór

$\{x\in X\colon\, p(x)=0\}$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$, a zbiór

$\{x\in X\colon\, p(x)<1\}$

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz $p$ jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

Przykłady

• Jeżeli $A\subseteq X$ jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego $\mu_A$ jest półnormą.
• Każda norma jest półnormą.

Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm

Jeśli $X$ jest przestrzenią liniową, to rodzinę $\mathcal{P}$ półnorm w przestrzeni $X$ nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X\setminus\{0\}$ istnieje półnorma $p\in\mathcal{P}$, że $p(x)\neq 0$.

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

$\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\}$,

gdzie $\mathcal{B}$ jest bazą lokalną przestrzeni $X$, złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Twierdzenie o wprowadzaniu topologii

Niech $\mathcal{P}$ będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej $X$ oraz

$U(p,n)=\{x\in X\colon\, p(x)<\tfrac{1}{n}\}$ dla $p\in P$ i $n\in\mathbb{N}$,

$\mathcal{B}=\big\{\bigcap_{k=1}^m U(p_k, n_k)\colon\, p_1,\ldots, p_m\in\mathcal{P},\, n_1,\ldots, n_m\in\mathbb{N},\, m\in\mathbb{N}\big\}$,

$\mathcal{B}(x)=\{x+U\colon\, U\in\mathcal{B}\}$ dla $x\in X$,

$\mathcal{T}=\big\{\bigcup \mathcal{R}\colon\, \mathcal{R}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}(x)\big\}$.

Wówczas

• $(X, +, \cdot, \mathcal{T})$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $\mathcal{B}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
• Każda półnorma z rodziny $\mathcal{P}$ jest funkcją ciągłą.
• Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej $p\in \mathcal{P}$ istnieje $M\in (0,\infty)$, że dla każdego $x\in A$

$p(x)\leqslant M$.

• Ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy $p\in\mathcal{P}$

$\lim_{n\to\infty}p(x_n-x)=0$.

Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych

Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $\mathcal{B}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

$\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\}$

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni $X$.

Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm

Jeżeli $\mathcal{P}$ jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni $X$, a $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja $\varrho\colon X\times X\to [0,\infty)$ dana wzorem

$\varrho(x,y)=\max\{\varepsilon_n \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\colon\, n\in\mathbb{N}\}$

jest metryką w zbiorze $X$ wyznaczającą topologię topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny $\mathcal{P}$. Ponadto $\varrho$ jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym. Ponadto, jeśli przestrzeń jest lokalnie wypukła, to każda kula o środku w zerze jest zbalansowanym zbiorem wypukłym.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.