PFA (aksjomat)

PFA (z ang. proper forcing axiom) – jeden z aksjomatów forsingowych używanych w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje

Pojęcia wstępne

Niech ${\mathbb P}=({\mathbb P},\leqslant)$ będzie pojęciem forsingu.

• Powiemy, że zbiór $G\subseteq {\mathbb P}$ jest filtrem w ${\mathbb P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \varnothing$,

(ii) jeśli $p,q\in {\mathbb P}$, $q\leqslant p$ oraz $q\in G$, to również $p\in G$,

(iii) jeśli $p,q\in G$, to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leqslant p$ oraz $r\leqslant q$.

• Zbiór $I\subseteq {\mathbb P}$ jest gęstym podzbiorem ${\mathbb P}$ jeśli $(\forall p\in {\mathbb P})(\exists q\in I)(q\leqslant p)$.
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal H}(\chi)$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi$. Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ takim, że ${\mathbb P}\in N$. Powiemy, że warunek $q\in {\mathbb P}$ jest warunkiem $(N,{\mathbb P})$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$, który należy do modelu $N$ mamy:

dla każdego $r\in A$, jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek $s\in {\mathbb P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

• Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal H}(\chi)$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$, ${\mathbb P},x\in N$ oraz $p\in {\mathbb P}\cap N$,

to istnieje warunek $q\leqslant p$ który jest $(N,{\mathbb P})$-generyczny.

PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, ${\mathcal I}$ jest rodziną gęstych podzbiorów ${\mathbb P}$ oraz $|{\mathcal I}|\leqslant\aleph_1$,

to istnieje filtr $G\subseteq {\mathbb P}$, który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z ${\mathcal I}$ (tzn $(\forall D\in {\mathcal I})(D\cap G\neq\varnothing)$).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, ${\mathcal A}$ jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole'a ${\rm RO}({\mathbb P})$ wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno $|{\mathcal A}|\leqslant\aleph_1$ jak i każdy antyłańcuch w rodzinie ${\mathcal A}$ jest mocy co najwyżej $\aleph_1$,

to istnieje filtr $G\subseteq {\rm RO}({\mathbb P})$, który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z ${\mathcal A}$ (tzn $(\forall A\in {\mathcal A})(A\cap G\neq\varnothing)$).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność

• Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980.
• W 1982, Shelah opublikował monografię przedstawiającą pierwsze sytematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
• W 1995, Martin Goldstern i Saharon Shelah wprowadzają BPFA który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Shelaha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje $\omega_1$) Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej $\aleph_1$ mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba super-zwarta" jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+PFA" jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba Mahlo" jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+BPFA" jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Shelah podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
• Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach.

Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

• $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_2$,
• MA,
• SCH,
• nie istnieją drzewa Kurepy,
• suma $\aleph_1$ (s₀)-zbiorów Marczewskiego jest $(s_0)$-zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ prostej rzeczywistej jest $\aleph_1$-gęsty w ${\mathbb R}$ jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego $P\subseteq{\mathbb R}$ mamy, że $|A\cap P|=\aleph_1$.

• Zakładając PFA, każde dwa $\aleph_1$-gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne.

Zobacz też

• hipoteza continuum
• aksjomat Martina
• forsing
• pojęcie forsingu
• proper forsing
• duże liczby kardynalne