Paradoks Banacha-Tarskiego

Paradoks Banacha–Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha–Tarskiego (Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.

Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a (nie da się określić ich objętości), więc naturalna argumentacja oparta na intuicjach związanych z objętością przedmiotów w świecie rzeczywistym nie ma tu zastosowania.

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego, z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne. (Należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym.)

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych.

Warto tu zacytować motto z jednej książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla, zachowując jego kształt sześcianu!

Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny

• 1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu. (Zobacz sekcja poniżej.)
• 1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny ${\mathbb R}^2$.
• 1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów $SO_3$.
• 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku.
• 1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając ZF i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego.
• 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają własność Baire'a, a więc porządnych z topologicznego punktu widzenia.

Wstępne przykłady

• W zasadzie już Galileusz zauważył, że zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór $\mathbb{N}$. Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych $P=\{0,2,4,6,\ldots\}$ i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych $N=\{1,3,5,\ldots\}$. Funkcja $f_P:P\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto k/2$ jest bijekcją z P na $\mathbb{N}$ oraz funkcja $f_N:N\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto (k-1)/2$ jest bijekcją z $N$ na $\mathbb{N}$.

• Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

• Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór $O=\{e^{2\pi ri}:r\in {\mathbb R}\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}$. Określmy na tym zbiorze relację równoważności $\cong$ przez warunek

$e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}$ wtedy i tylko wtedy gdy $r-s$ jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór $M\subseteq O$, który jest selektorem klas abstrakcji relacji $\cong$. Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:

(a) $(\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow\ s\not\cong t)$ oraz

(b) $(\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t)$.

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale $[0,1)$ jako sumę ${\mathbb Q}\cap [0,1)=A\cup B$ dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem ${\mathbb Q}\cap [0,1)$, a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i $f_B:B\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$. Rozważmy zbiory

$M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in A\}$ i $M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in B\}$.

Wówczas $O=M_A\cup M_B$, $M_A\cap M_B=\emptyset$ oraz funkcje

$\varphi_A:M_A\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t$ i

$\varphi_B:M_B\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t$

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

• Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla $q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)$ połóżmy $M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}$. Wówczas $\{M^q:q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)\}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że $A\subseteq {\mathbb Q}\cap [0,1)$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i zauważmy że

$O=\bigcup\limits_{q\in A} F_q[M^q]$, gdzie $F_q:O\longrightarrow O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi(r+f_A(q)-q)i}$ jest obrotem o kąt $(f_A(q)-q)\cdot 2\pi$.

• Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

$Z=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$,

$Z_0=\{a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\setminus\{0\} \wedge\ a_1,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$,

$Z_+=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0>0\}$.

Można łatwo sprawdzić, że $Z=Z_0\cup Z_+$, $Z_0\cap Z_+=\emptyset$ (przypomnijmy, że $e^i$ jest liczbą przestępną) oraz

$F_0[Z_0]=Z$ gdzie $F_0:z\mapsto e^{-i}\cdot z$ jest obrotem, a

$F_+[Z_+]=Z$ gdzie $F_+:z\mapsto z-1$ jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne

Definicje

Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.

• Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,\ldots,B_n,C_0,\ldots,C_m\subseteq A$ (gdzie $n,m\in {\mathbb N}$) oraz elementy $g_0,\ldots,g_n,h_0,\ldots,h_m$ grupy G, takie że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^n g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^m h_j[C_j]$.

Intuicyjnie, można powiedzieć że A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru A, używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.

• Zbiór $A\subseteq X$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,B_1\ldots,C_0,C_1\ldots\subseteq A$ oraz elementy $g_0,g_1,\ldots,h_0,h_1\ldots$ grupy G, takie że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^\infty g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^\infty h_j[C_j]$.

• Niech $A,B\subseteq X$. Powiemy, że zbiory A i B są kawałkami $G$-równoważne, jeśli można wybrać $A_0,A_1,\ldots, A_n\subseteq A$, $B_0,B_1,\ldots, B_n\subseteq B$, $n\in {\mathbb N}$, oraz $g_0,g_1,\ldots,g_n\in G$, tak że

(a) $A_i\cap A_j=\emptyset=B_i\cap B_j$ dla $i<j\leqslant n$,

(b) $A = \bigcup_{i=0}^n A_i$, $B= \bigcup_{i=0}^n B_i$

(c) $g_i(A_i)=B_i$ dla każdego $i\leqslant n$.

Przykłady

• Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów $SO_2$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
• Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

Zbiory S(a^-1) i aS(a^-1) zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F₂

• Rozważmy grupę wolną $F_2$ o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi $g\in F_2$ odpowiada bijekcja $F_2\ni h\mapsto g h\in F_2$.) Dla $x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ niech $S(x)$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy $F_2$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że

$F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$ i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

$F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)$ i $F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)$.

Zatem $F_2$ jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy $F_2$.

Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

• Przypuśćmy, że

(a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in G$),

(b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.

• Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna $F_2$ działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in F_2$), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $F_2$.
• Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej $S_2$ taki, że zbiór $S_2\setminus D$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów $SO_3$.
• Jeśli $D\subseteq S_2$ jest przeliczalny, to zbiory $S_2$ i $S_2\setminus D$ kawałkami $SO_3$-równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

• Sfera jednostkowa $S_2$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów $SO_3$.

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech $I_3$ będzie grupą izometrii przestrzeni ${\mathbb R}^3$.

• Każda kula w ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy $I_3$. Również sama przestrzeń ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
• Jeśli $A,B\subseteq {\mathbb R}^3$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami $I_3$-równoważne.

Zobacz też

• zbiór Vitalego
• zbiór Bernsteina
• miara (matematyka)

Linki zewnętrzne

• Artykuł o paradoksie na PlanetMath (ang.)