Paradoks Bertranda

Paradoks Bertranda – paradoks istniejący w ramach teorii prawdopodobieństwa w zbiorach nieskończonych.

Problem ten został pierwotnie dostrzeżony przez Josepha Bertranda i opublikowany w jego pracy Calcul des probabilités w 1888 r.

Brzmienie paradoksu:

Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę AB. Jaka jest szansa, że cięciwa będzie dłuższa, niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

Bertrand wykazał, że do rozwiązania tego problemu można zastosować trzy różne podejścia – wszystkie poprawne z formalnego punktu widzenia, z których każdy prowadzi do sprzecznych rezultatów z dwoma pozostałymi.

Podejście pierwsze

czerwony – przykładowe zdarzenia sprzyjające; niebieski – przykładowe zdarzenie niesprzyjające

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór kąta środkowego α, opartego na cięciwie AB.

• Ω = [ 0, 2π ]
• Zdarzenie sprzyjające A = ( 2/3 π, 4/3 π )
• $P(A) = \frac {2/3\pi}{2\pi}=\frac {1}{3}$

Podejście drugie

jw.

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy odległość środka skonstruowanej cięciwy od środka okręgu.

• Ω = [ 0, 1 ]
• Zdarzenie sprzyjające $B =[ 0, \frac{1}{2})$
• $P(B) = \frac{1}{2}$

Podejście trzecie

jw.

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór dowolnego punktu wewnątrz naszego koła. Zdarzenie sprzyjające zachodzi, gdy wybrany punkt znajdzie się wewnątrz koła wpisanego w rozważany trójkąt równoboczny. Prawdopodobieństwo jest stosunkiem powierzchni kół.

• Ω = K(0, 1)
• Powierzchnia koła $S_\Omega=\pi$
• Zdarzenie sprzyjające C = K(0, ½)
• Powierzchnia koła $S_\C=1/4\ \pi$
• $P(C) = \frac {S_C}{S_\Omega}=\frac{1}{4}$

Wniosek

Kluczowy wpływ na obliczone prawdopodobieństwo ma wybór Ω, tj. sposób wyboru zbioru zdarzeń elementarnych. Bertrand chciał w ten sposób wykazać, że klasyczna definicja prawdopodobieństwa, rozumiana jako liczba zdarzeń sprzyjających (A) do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych (Ω), nie może być bezpośrednio zastosowana do zbiorów nieskończonych. Przeniesienie tej definicji na zbiór proporcji długości cięciw (przypadek 1 i 2) lub powierzchni kół (przypadek 3) prowadzi do sprzecznych wyników.

Trudność leży tu bowiem w "sposobie losowania" cięciw, które nie są wzajemnie równoznaczne przy trzech różnych definicjach zbioru zdarzeń elementarnych. Rozwiązaniem paradoksu jest zatem dodanie do definicji prawdopodobieństwa w zbiorach nieskończonych funkcji, która w jednoznaczny sposób określa "sposób losowania" elementów z tego zbioru.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa