Paradoks Burali-Fortiego

Cesare Burali-Forti

Paradoks Burali-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 przez ucznia Giuseppe Peano, Cesarego Burali-Fortiego, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór $A$, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór $B$ tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

$\alpha=\bigcup B$ i $\alpha\cup\{\alpha\}$

są liczbami porządkowymi. Wówczas $\alpha \in \alpha \cup \{\alpha\}$ oraz $\alpha \cup \{\alpha\}\in B$, a więc $\alpha \in \bigcup B=\alpha$, co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek. Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2007