Parametr skali

Parametr skali – jeśli w rodzinie jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dystrybuanta parametryzowana jest przez dodatnią liczbę rzeczywistą $s$ (obok ewentualnych innych parametrów), i zachodzi:

$F_{s,p_1,\dots,p_n}(x) = F_{1,p_1,\dots,p_n}\left( \frac{x-\mu}{s}+\mu\right)$

gdzie:

• $F_{s,p_1,\dots,p_n}\;$ jest dystrybuantą parametryzowaną przez $s,p_1,\dots,p_n$
• $\mu\;$ jest parametrem położenia; pewną funkcją parametrów $p_1,\dots,p_n$ (zazwyczaj równą wartości oczekiwanej)
• $x\;$ jest liczbą rzeczywistą

to $s$ jest nazywane parametrem skali. Zwiększenie tego parametru k razy powoduje następujące przekształcenie:

• punkty na osi odciętych wykresów dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu zwiększają odległość od punktu (μ,0) k razy
• dla funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oś rzędnych kurczy się k razy względem środka układu współrzędnych. Jest to konieczne, aby całka z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu była nadal równa jeden.

Analogicznie można zdefiniować parametr skali dla rozkładów N-wymiarowych – jest on wówczas N-elementowym wektorem. W szerszym znaczeniu parametrem skali można nazwać także dowolną liczbę, z której da się obliczyć parametr $s$ zdefiniowany tak jak powyżej.

W niektórych przypadkach (np. rozkład normalny, rozkład Cauchy'ego) rozkład z parametrem położenia 0 i parametrem skali 1 nazywany jest "standardowym".

Przykłady

• Dla rozkładu normalnego parametrem skali jest odchylenie standardowe, a wartością μ wartość oczekiwana. Czasem jednak zamiast odchylenia używa się jego kwadratu (wariancji), również nazywając ją parametrem skali (co jest uzasadnione, gdyż odchylenie standardowe da się z niej obliczyć).
• Rozkład gamma ma parametr skali θ, choć czasem używa się jego odwrotności.

Zobacz też

• parametr położenia
• parametr kształtu