Pełna grupa liniowa

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.

Definicja formalna

Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę $\left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right)$ oznaczaną $\operatorname{GL}(n, R)$, gdzie:

• $R$ jest pierścieniem łącznym z jedynką,
• $U_n(R)= \{A\ \in R_n^n\colon A\mbox{ jest odwracalna}\}$,
• działaniem grupowym mnożenie macierzy,
• operacją brania elementu odwrotnego odwracanie macierzy, zaś
• elementem neutralnym macierz jednostkowa.

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator $\operatorname{GL}(n, \cdot)$ jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$, wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez $\operatorname{GL}(V)$ lub $\operatorname{Aut}(V)$ nazywamy grupę wszystkich automorfizmów $V$, tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych $V \to V$ ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń $V$ ma skończony wymiar $\dim V = n$, to $\operatorname{GL}(V)$ oraz $\operatorname{GL}(n, K)$ są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w $V$. Jeżeli $(e_1, \dots, e_n)$ jest bazą uporządkowaną $V$, zaś $T$ automorfizmem $\operatorname{GL}(V)$, to mamy

$Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j$

dla pewnych stałych $a_{jk} \in K$. Macierz odpowiadająca $T$ składa się po prostu z wyrazów $a_{jk}$.

Podobnie grupa $\operatorname{GL}(n, R)$ pierścienia $R$ może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego $R$-modułu o randze $n$.

Wyznaczniki

Macierz jest odwracalna nad ciałem $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd $\operatorname{GL}(n, K)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego $R$ jest nieco subtelniejsza: macierz nad $R$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w $R$, tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w $R$. Stąd $\operatorname{GL}(n, R)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym $R$ nie ma sensu. W tym przypadku grupa $\operatorname{GL}(n, R)$ może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych $M(n, R)\;$.

Specjalna grupa liniowa

Specjalną grupą liniową stopnia $n$ nad ciałem $K$ nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia $n$ o elementach z ciała $K$, których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez $\operatorname{SL}(n, K)$.

Uwagi

• Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
• Jeżeli $K = \mathbb R$ lub $K = \mathbb C$ (ogólnie $K$ jest ciałem lokalnym), to $\operatorname{SL}(n)$ jest podgrupą Liego grupy $\operatorname{GL}(n)$ wymiaru $n^2 - 1$. Algebra Liego $\mathfrak{sl}(n)$ składa się ze wszystkich macierzy $K^n_n$ ze znikającym śladem. Nawias Liego jest dany przez jej komutator.
• Specjalna grupa liniowa $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$ może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych $\mathbb R^n$ zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

$\operatorname{GL}(n, K)$ może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru $n^2$ nad $K$.

Ciała skończone

Jeżeli $K$ jest ciałem skończonym o $q$ elementach, to zamiast $\operatorname{GL}(n, K)$ piszemy czasami $\operatorname{GL}(n, q)$. Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to $\operatorname{GL}(n, p)$ jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy $\mathbb Z_p^n$, a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ $\mathbb{Z}_p^n$ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy

Rząd grupy $\operatorname{GL}(n, K)$ wynosi

$|\operatorname{GL}(n, K)| = \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$.

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie $k$-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych $k-1$ kolumn.

Przykładowo $\operatorname{GL}(3, 2)$ ma rząd równy $(8-1)(8-2)(8-4) = 168$. Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fano oraz grupy $\mathbb{Z}_2^3$.

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad $K$, innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru $k$. Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla $\operatorname{SL}(n, K)$ to

$|\operatorname{SL}(n, K)| = {1 \over q-1} \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$.

Inne podgrupy

Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę $\operatorname{GL}(n, K)$, nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z $\left(K^*\right)^n$. W ciałach takich jak $\mathbb R$, czy $\mathbb C$ odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami $\operatorname{GL}(V)$ zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej $V$. Są to między innymi

• grupa ortogonalna, $\operatorname{O}(V)$, zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na $V$,
• grupa symplektyczna, $\operatorname{Sp}(V)$, zachowująca formę symplektyczną na $V$ (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
• grupa unitarna, $\operatorname{U}(V)$, zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na $V$, o ile $K = \mathbb C$.

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności

• Jeśli $n>2$, to $\operatorname{GL}(n, K)$ nie jest abelowa.
• $\operatorname{SL}(n, K)$ jest podgrupą normalną $\operatorname{GL}(n, K)$.
• Niech $K^*$ będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów $K$ różnych od zera) ciała $K$, wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:

  $\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*$.

• Z definicji jądra wynika, że jądrem $\det$ jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem $\ker \det = \operatorname{SL}(n, K)$.
• Więcej, $\operatorname{GL}(n, K)$ jest produktem półprostym $\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*$.
• Grupa $\operatorname{SL}(n, \mathbb C)$, w przeciwieństwie do $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$, jest jednospójna. Dodatkowo $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$ ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna $\operatorname{GL}^+(n, \mathbb R)$, czyli $\mathbb Z$ dla $n = 2$ oraz $\mathbb Z_2$ dla $n > 2$.
• Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą $\operatorname{GL}(n, K)$ izomorficzną z $K^*$.
• Grupa skalarna stanowi centrum $\operatorname{GL}(n, K)$, zatem jest ona normalna i przemienna.
• Centrum $\operatorname{SL}(n, K)$ to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki $n$-tego stopnia w ciele $K$.

Podobne grupy

Projektywna grupa liniowa

Projektywna grupa liniowa $\operatorname{PGL}(n, K)$ oraz specjalna projektywna grupa liniowa $\operatorname{PSL}(n, K)$ są grupami ilorazowymi $\operatorname{GL}(n, K)$ oraz $\operatorname{SL}(n, K)$ przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna

Grupa afiniczna $\operatorname{Aff}(n, K)$ jest rozszerzeniem $\operatorname{GL}(n, F)$ o grupę przesunięć w $K^n$. Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

$\operatorname{Aff}(n, K) = \operatorname{GL}(n, K) \ltimes K^n$,

gdzie $\operatorname{GL}(n, K)$ działa na $K^n$ w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową $K^n$.

Zobacz też

• macierz odwracalna
• wyznacznik