Pierścień ilorazowy

Pierścień ilorazowy to pojęcie teorii pierścieni analogiczne do pojęcia grupy ilorazowej w teorii grup.

Niech $Q$ będzie ideałem pierścienia $S$. Relacja $\mathrm R_Q\subset S\times S$ określona: $a \mathrm R_Q b \iff a-b\in Q$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu $S$. Zbiór ilorazowy $S/\mathrm R_Q$ z określonymi w nim działaniami:

• $[a]+[b]=[a+b]$
• $[a][b]=[ab]$

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez $S/Q$ i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia $S$ przez ideał $Q$.

Można wykazać, że dowolna relacja $\mathrm R \subset S\times S$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu $S$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją $\mathrm R_Q$ dla pewnego ideału $Q$.

Własności

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.

• Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny.
• Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji [1].
• S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym.
• S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem maksymalnym.