Pierścień z dzieleniem

Pierścień z dzieleniem – struktura algebraiczna spełniająca wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem aksjomatu przemienności mnożenia. Każde ciało jest więc pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.

Nazwa

Historycznie pierwszym przykładem pierścienia z dzieleniem nie będącego ciałem były kwaterniony odkryte w 1853 roku przez Hamiltona. Ze względu na podobieństwo definicji strukturę tę nazywano niegdyś ciałem nieprzemiennym, ponieważ samo ciało definiowane jest jako przemienne, pojęcie to nie zadomowiło się w języku matematycznym. Innym pomysłem było uogólnienie definicji ciała poprzez rezygnację z jego przemienności i nazywanie ciałem przemiennym tego, co określane jest dzisiaj terminem „ciało”, lecz ten pomysł również się nie przyjął. Z kolei pojęcie pierścienia z dzieleniem jest używane we współczesnej literaturze matematycznej, dlatego niepolecane jest stosowanie kalek z języków angielskiego i niemieckiego takich jak „ciało skośne” (od ang. skew field oraz niem. Schiefkörper).

Definicja

Nietrywialny pierścień $R$ nazywamy pierścieniem z dzieleniem, gdy każdy niezerowy element $a \in R$ ma element odwrotny ze względu na mnożenie, tzn.

$\forall_{a \in R\setminus \{ 0\} }\; \exists_{b \in G}\; a \cdot b = b \cdot a = 1$.

Innymi słowy, pierścień $R$ jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{U}(R) = R \setminus \{0\}$, tj. grupa elementów odwracalnych składa się z wszystkich niezerowych elementów.

Pierścień z dzieleniem jest zatem strukturą algebraiczną $(R, +, \cdot, 0, 1)$ taką, że:

• $(R, +, 0)$ jest grupą przemienną,
• $(R\setminus\{0\}, \cdot, 1)$ jest grupą (przemienną lub nie),
• $\forall_{a,b,c \in R}\; (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$,
• $\forall_{a,b,c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$,
• $1 \ne 0$ (ten aksjomat jest czasem pomijany, gdyż wynika z pozostałych, jeżeli zbiór R ma więcej niż jeden element).

Własności

Można określić sporą część algebry liniowej opartej na modułach nad pierścieniami z dzieleniem zamiast na przestrzeniach liniowych nad ciałami i nadal pozostaje ona spójna oraz niesprzeczna. Każdy moduł nad pierścieniem z dzieleniem ma bazę, przekształcenia liniowe między skończeniewymiarowymi modułami nad pierścieniami z dzieleniem mogą być opisywane za pomocą macierzy i można stosować algorytm eliminacji Gaussa.

Centrum pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem. Każdy pierścień z dzieleniem jest więc algebrą z dzieleniem nad swoim centrum. Pierścienie z dzieleniem mogą być ogólnie klasyfikowane według tego, czy są skończenie- czy też nieskończeniewymiarowe nad swoim centrami. W pierwszym przypadku nazywa się je centralnie skończonymi, w drugim centralnie nieskończonymi. Każde ciało jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim centrum.

Przykłady

• Dowolne ciało jest pierścieniem z dzieleniem, w którym mnożenie jest przemienne.
• Kwaterniony $\mathbb H$ (uogólnienie liczb zespolonych) są nieprzemiennym pierścieniem z dzieleniem. Pierścień kwaternionów jest czterowymiarową algebrą nad swoim centrum, które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi.
• Jeśli zamiast liczb rzeczywistych użyjemy do konstrukcji kwaternionów liczb wymiernych otrzymamy jeszcze inny przykład pierścienia z dzieleniem.
• Ogólnie, jeżeli $S$ jest modułem prostym nad pierścieniem $R$, to pierścień endomorfizmów $S$ jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.

Twierdzenia

Twierdzenie (małe) Wedderburna 

Wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne, zatem są ciałami skończonymi (istnieje prosty dowód dany przez Ernsta Witta).

Twierdzenie Frobeniusa 

Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Zobacz też

• ciało
• pierścień
• grupa

Linki zewnętrzne

• Dowód twierdzenia Wedderburna na Planet Math (ang.)