Pierwiastek kwadratowy z 5

Przedstawienia
Dwójkowo	10.0011110001101111...
Dziesiętnie	2.23606797749978969...
Szesnastkowo	2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy	$2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}$

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

$\sqrt{5}$

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku^[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ….

W kwietniu 1994 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 została wyznaczona z dokładnością do jednego miliona miejsc po przecinku^[2]

[edytuj] Dowód niewymierności

Niech $\scriptstyle \sqrt 5$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne $\scriptstyle m$ oraz $\scriptstyle n,$ że $\scriptstyle \sqrt 5 = m/n,$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi) otrzymuje się $\scriptstyle 5 = m^2/n^2,$ skąd $\scriptstyle 5n^2 = m^2.$ Ponieważ $\scriptstyle 5n^2$ jest liczbą podzielną przez 5, to i $\scriptstyle m^2$ jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5^[3]; stąd liczba $\scriptstyle m$ jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna $\scriptstyle k,$ dla której $\scriptstyle m = 5k.$ Podstawienie tego równania do poprzedniego daje $\scriptstyle m^2 = (5k)^2 = 25k^2,$ zatem $\scriptstyle 5n^2 = 25k^2,$ tj. $\scriptstyle n^2 = 5k^2,$ co ponownie oznacza, że liczba $\scriptstyle n^2,$ a stąd i $\scriptstyle n,$ jest podzielna przez 5.

Skoro tak $\scriptstyle m$ jak i $\scriptstyle n$ są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba $\scriptstyle \sqrt 5$ jest niewymierna.

[edytuj] Geometria

Geometrycznie √5 jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu, lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między √5 a φ, można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

[edytuj] Złoty podział

Konstrukcja złotego prostokąta.

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

jak również jej odwrotności

$\frac{1}{\varphi} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Przekształcając powyższe wzory można zauważyć, że

$\sqrt{5} = 2\varphi - 1 = \varphi + \frac{1}{\varphi}$

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ (ciąg A002163 w OEIS)
↑ Robert Nemiroff, George Mason: Milion pierwszych cyfr pierwiastka kwadratowego z 5 (ang.).
↑ Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej $\scriptstyle n^2$ jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle n$ jest liczbą podzielną przez 5.
Dowód: (→) Jeśli

$n = 5k$

to równość

$n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$

oznacza, że $\scriptstyle n^2$ jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro

$p = 5k + 1$

$q = 5k + 2$

$r = 5k + 3$

$s = 5k + 4$

to

$p^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

$q^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

$r^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

$s^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

czyli $\scriptstyle p^2$ , $\scriptstyle q^2$ , $\scriptstyle r^2$ i $\scriptstyle s^2$ są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
Q.e.d