Pierwiastnik

Pierwiastnik względem ustalonych liczb to w algebrze wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech postawowych działań arytmetycznych, potęg o wykładnikach naturalnych (skrócony zapis wielokrotnego mnożenia) oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb $x, y$ oraz $\pi$ jest np. $\sqrt[5]{x+\sqrt{\pi y+x}}$. Pojęcie pierwiastnika odpowiada zatem intuicji liczb, które można zapisać przy użyciu czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalna

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)

Liczbę zespoloną $z$ można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli można znaleźć liczby zespolone $z_1,\ldots,z_n$ oraz liczby naturalne $k_1,\ldots,k_n$ takie, że kładąc

$K_0={\mathbb Q}$ (ciało liczb wymiernych), $K_i=K_{i-1}(z_i)$ (rozszerzenie ciała $K_{i-1}$ o element $z_i$) dla $i=1,\ldots, n$

będziemy mieli

$z_i^{k_i}\in K_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,\ldots,n$ oraz $z\in K_n$.

Liczbę $k=\max\{k_1,\ldots,k_n\}$ nazywamy stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy ${\mathbb Q}$ przez pewne ciało $K\subseteq {\mathbb C}$ to otrzymamy definicję, gdy liczba $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach nad ciałem $K$. Jeśli $K={\mathbb Q}(a_1,\ldots,a_m)$, to możemy powiedzieć że $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem $a_1,\ldots,a_m$.

Definicja 2 (ogólniejsza)

Niech $K\;$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element a jest pierwiastnikowy względem ciała $K\;$ (albo że wyraża się przez pierwiastniki względem ciała $K\;$), jeśli istnieje taki ciąg ciał

$K = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_r$, że

(1) $a \in K_r$,

(2) dla i = 1, 2, ... , r ciało $K_i\;$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^{n_i} - a_i \in K_{i - 1} [x]$.

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała $K\;$ oznaczamy przez $r(K)\;$ i nazywamy domknięciem pierwiastnikowym ciała $K\;$.

Jeśli $K\;$ jest ciałem charakterystyki $p \neq 0$, to warunek (2) definicji zastępuje się przez

(2') dla i = 1, 2, ... , r ciało $K_i\;$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci , gdzie $p \not\operatorname{|} n_i$, albo wielomianu postaci $x^p - x - a_i \in K_{i -1} [x]$.

Własności

• Zbiór $r(K)$ jest ciałem.
• Każdy element pierwiastnikowy względem $r(K)$ należy do $r(K)$.
• Jeśli $p,q\in {\mathbb Q}$ oraz równanie

$z^3+pz+q=0$

nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.

• Jeżeli p i q są liczbami pierwszymi, to równanie $x^p - 2qx - q = 0$ nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem $\mathbb Q$.

Znaczenie i użycie

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (m.in. Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferro i Tartaglię a znane jako wzory Cardano dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrari dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (tzn. poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni 5 i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania – patrz Twierdzenie Abela-Ruffiniego.

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała $\mathbb{Q}$ (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, to można ograniczyć się do linijki.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia