Podgrupa

Podgrupa – podzbiór zbioru elementów grupy który tworzy grupę z tym samym działaniem (ograniczonym do tego podzbioru). Badanie różnych rodzajów podgrup danej grupy dostarcza o niej wielu informacji. Często grupę daje się rozłożyć na iloczyn prosty jej podgrup.

Definicja

Niech $(G,\circ)$ będzie grupą, a $H$ jej niepustym podzbiorem zbioru $G$. Zbiór $H$ jest podgrupą grupy $G$, jeśli ograniczenie $\circ$ do zbioru $H$ jest operacją grupową na $H$, tzn. $(H,\circ)$ sama w sobie jest grupą.

To, że H jest podgrupą w G oznacza się przez $H \le G$. Każda grupa G zawiera jako podgrupy podgrupę trywialną składającą się wyłącznie z elementu neutralnego, $\{e\} \le G$, oraz całą grupę nazywaną podgrupą niewłaściwą, $G \le G$. Pozostałe podgrupy grupy $G$ nazywa się właściwymi i oznacza się często symbolami $<$ lub $\lneq$.

Własności i pojęcia pokrewne

• Niech $(G,\circ)$ będzie grupą oraz niech $\emptyset\neq H\subseteq G$. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(A) $H$ jest podgrupą $G$;

(B) $H \subseteq G$ jest zamknięte ze względu na oba działania grupowe, czyli:

$(\forall a, b \in H) (a\circ b \in H)$   oraz   $(\forall a \in H)(a^{-1} \in H)$;

(C) $(\forall a, b \in H)(a\circ b^{-1} \in H)$.

• Twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa jest izomorficzna z podgrupą pewnej grupy permutacji.
• Rozważa się warstwy (lewo- i prawostronne) grupy względem danej podgrupy, które są rozłącznymi zbiorami na które rozpada się grupa. Indeksem grupy $G$ względem podgrupy $H$ nazywamy moc zbioru warstw lewostronnych podgrupy $H$ i oznaczamy $[G:H]$. (Stosuje się także oznaczenia $(G:H)$ lub $|G:H|$.)
• Jeżeli warstwy lewostronne grupy są równe prawostronnym, to taką podgrupę nazywa się podgrupą normalną tej grupy. Grupa ilorazowa powstaje przez utożsamienie pewnej podgrupy normalnej z elementem neutralnym grupy z której powstaje (inną nazwą podgrupy normalnej jest dzielnik normalny).
• Mocniejszą niż normalność podgrupy własnością jest charakterystyczność.

Przykłady

• Grupa liczb rzeczywistych z działaniem dodawania ma podgrupę liczb wymiernych z tym samym działaniem, podobnie zbiór liczb całkowitych jest podgrupą grupy liczb rzeczywistych (a także wymiernych).
• Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich tworzy podgrupę grupy liczb rzeczywistych różnych od 0 z działaniem mnożenia.
• Zbiór liczb wymiernych tworzy podgrupę liczb rzeczywistych z działaniem dodawania.
• Zbiór liczb całkowitych stanowi podgrupę grupy liczb wymiernych z działaniem dodawania.
• Zbiór liczb całkowitych parzystych jest podgrupą liczb całkowitych z działaniem dodawania.
• Zbiór obrotów tworzy pogrupę grupy wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej z działaniem składania przekształceń.
• Zbiór macierzy kwadratowych o wyznaczniku równym 1 tworzy podgrupę grupy wszystkich macierzy kwadratowych danego stopnia o wyznaczniku różnym od 0 z działaniem mnożenia macierzy.
• Ważnymi podgrupami pomocnymi w badaniu grupy są centralizator i normalizator oraz jej centrum:

  centrum grupy $(G, \cdot)$ to podgrupa $Z(G)= \{a \in G\colon ab = ba \forall_{b \in G}\} \vartriangleleft G$;

  centralizator elementu $a \in G$ to zbiór $C(a)=\{b \in G\colon ab = ba\}$.

• Podgrupa generowana przez element:

Zbiór wszystkich potęg danego elementu $g$, czyli $\{\dots, g^{-2}, g^{-1}, g^0=e, g^1, g^2, \dots \}$, grupy dowolnego rzędu jest podgrupą. Jest to grupa cykliczna nazywana podgrupą generowaną przez element $g$. Rzędem elementu $g$ nazywamy rząd tej podgrupy.

Zobacz też

• podgrupa Cartana
• podgrupa Fittinga
• podgrupa z operatorami (stabilna)