Podprzestrzeń liniowa

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Podzbiór $\scriptstyle U$ przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ nad ciałem $\scriptstyle K$ jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $\scriptstyle \mathbf u, \mathbf v \in U$ i $\scriptstyle a \in K$ spełnione są warunki:

• $a\mathbf u \in U$,
• $\mathbf u + \mathbf v \in U$.

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór $\scriptstyle U$ jest zamknięty ze względu mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że $\scriptstyle U$ jest podzbiorem $\scriptstyle V.$

Odwrotnie, jeśli $\scriptstyle U$ jest podprzestrzenią $\scriptstyle V,$ to $\scriptstyle U$ sama jest przestrzenią liniową ze względu na działania indukowane z $\scriptstyle V,$ co oznacza, że powyższe dwa warunki są spełnione (zamkniętość wynika z definicji działania dwuargumentowego).

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.

• W każdej przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ zbiory $\scriptstyle \{\mathbf 0\}$ oraz cała przestrzeń $\scriptstyle V$ są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
• W przestrzeni współrzędnych $\scriptstyle \mathbb R^2$ podzbiór złożony z wektorów postaci $\scriptstyle [t, 3t]$ dla $\scriptstyle t \in \mathbb R$ jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt $\scriptstyle (1, 3).$
• Podobnie w przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^3$ podzbiór złożony z wektorów postaci $\scriptstyle [t, 3t, s],$ gdzie $\scriptstyle t, s$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty $\scriptstyle (0,0,1)$ i $\scriptstyle (1,3,0)$.
• W przestrzeni liniowej $\scriptstyle \mathbb R^{[0, 1]}$ wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na (rzeczywistym) przedziale $\scriptstyle [0, 1]$ można wyróżnić podprzestrzeń liniową wszystkich funkcji ograniczonych (zob. przestrzeń funkcyjna).
• Jeżeli $\scriptstyle V$ jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Kowymiar

Niech $\scriptstyle U$ oraz $\scriptstyle W$ będą podprzestrzeniami $\scriptstyle V.$ Kowymiarem podprzestrzeni $\scriptstyle U$ w $\scriptstyle V,$ oznaczanym $\scriptstyle \mathrm{codim}\; U$ nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej $\scriptstyle V/U.$ Jeżeli $\scriptstyle V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

$\dim V/U = \dim V - \dim U.$

W analizie funkcjonalnej dużą uwagę poświęca się podprzestrzeniom przestrzeni funkcyjnych o kowymiarze 1.

Działania

Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni jest podprzestrzenią liniową, gdyż każda kombinacja liniowa elementów przekroju rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego przekroju jako, że należy ona do każdej podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

Zamiast nieprzydatnej tu sumy mnogościowej wprowadza się dla podprzestrzeni $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle W$ sumę algebraiczną zdefiniowaną następująco:

$U + W := \{\mathbf u + \mathbf w\colon \mathbf u \in U \mbox{ oraz } \mathbf w \in W \}$

Suma algebraiczna $\scriptstyle U + W$ dwóch podprzestrzeni $\scriptstyle U$ oraz $\scriptstyle W$ przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ jest podprzestrzenią $\scriptstyle V.$

Dowód

Niech $\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y \in U + W.$ Wówczas $\scriptstyle \mathbf x = \mathbf x_U + \mathbf x_W$ oraz $\scriptstyle \mathbf y = \mathbf y_U + \mathbf y_W$ dla pewnych $\scriptstyle \mathbf x_U, \mathbf y_U \in U$ i $\scriptstyle \mathbf x_W, \mathbf y_W\in W.$ W ten sposób

$\mathbf x + \mathbf y = \mathbf x_U + \mathbf x_W + \mathbf y_U + \mathbf y_W = \underbrace{\mathbf x_U + \mathbf y_U}_{\in U} + \underbrace{\mathbf x_W + \mathbf y_W}_{\in W} \in U + W.$

Niech $\scriptstyle \mathbf x \in U + W,$ zaś $\scriptstyle c$ jest skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora $\scriptstyle \mathbf x$ co wyżej uzyskuje się

$c\mathbf x = c(\mathbf x_U + \mathbf x_W) = \underbrace{c\mathbf x_U}_{\in U} + \underbrace{c\mathbf x_W}_{\in W} \in U + W.$

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni liniowej wraz z działaniami $\scriptstyle +$ i $\scriptstyle \cap$ tworzy kratę modularną, która na ogół nie jest dystrybutywna.

Indukcyjnie definiuje się sumę $\scriptstyle U_1 + \ldots + U_n$ podprzestrzeni $\scriptstyle U_1, \ldots, U_n$ przestrzeni $\scriptstyle V.$

Między wymiarami przestrzeni $\scriptstyle U + W$ i $\scriptstyle U \cap W$ zachodzi związek

$\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim U + \dim W,$

w szczególności

$\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W,$

gdzie symbol $\scriptstyle U \oplus W$ oznacza sumę prostą podprzestrzeni $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle W.$

Powłoka liniowa

Dla każdego (niekoniecznie skończonego) zbioru $\scriptstyle A$ wektorów przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ nad ciałem $\scriptstyle K$ istnieje najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa zawierająca ten zbiór – jest nią część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających zbiór $\scriptstyle A.$ Podprzestrzeń tę nazywa się powłoką liniową, otoczką liniową lub domknięciem liniowym zbioru $\scriptstyle A$ i oznacza się ją zwykle $\scriptstyle \langle A \rangle$ bądź $\scriptstyle \mathrm{lin}\; A$ lub $\scriptstyle \mathrm{span}\; A$. Sam zbiór $\scriptstyle A$ nazywa się wówczas zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń $\scriptstyle \langle A \rangle$, a przestrzeń $\scriptstyle \langle A \rangle$ podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór $\scriptstyle A.$

Podprzestrzeń $\scriptstyle \langle A \rangle$ jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru $\scriptstyle A,$ tzn.

$\langle A \rangle = \bigl\{\lambda_1 \mathbf v_1 + \dots + \lambda_k \mathbf v_k\colon \lambda_i \in K,\; \mathbf v_i \in A \mbox{ dla } i \in \mathbb N_k\}.$

i czasami właśnie tak definiuje się powłokę liniową zbioru $\scriptstyle A.$ Z charakteryzacji tej wynika, że jeżeli $\scriptstyle A$ i $\scriptstyle B$ są podprzestrzeniami liniowymi, to

$\langle A \rangle = A \quad \mathrm{oraz} \quad \langle A\cup B \rangle = A + B.$

Jeżeli zbiór $\scriptstyle A$ generuje przestrzeń $\scriptstyle V,$ to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń $\scriptstyle V$ jest generowana przez samą siebie. Zbiór $\scriptstyle A,$ który generuje przestrzeń $\scriptstyle V,$ jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy jest on liniowo niezależny. Innymi słowy, zbiór $\scriptstyle A,$ który generuje przestrzeń $\scriptstyle V$ jest bazą przestrzeni $\scriptstyle V$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni $\scriptstyle V$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru $\scriptstyle A.$

Podprzestrzeń przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^2$ generowana przez zbiór $\scriptstyle \{[1, 3]\}$ opisana jest w drugim z przykładów.

Bibliografia

1. Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.