Potęga punktu

Rys. 1. Potęga dla punktu na zewnątrz okręgu

Rys. 2. Potęga dla punktu wewnątrz okręgu

Potęga punktu $A$ względem okręgu $o$ (o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$) wyraża się wzorem: $P(A,o)=|AO|^2-r^2$.

• $P(A,o)>0\;$ dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. Jest wtedy równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu $A$ do okręgu $o$ (rys. 1).
• $P(A,o)<0\;$ dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. Jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu $o$ przechodzącej przez punkt $A$ (rys. 2).
• $P(A,o)=0\;$ dla punktów $A$ leżących na okręgu.

Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Z potęgą punktu względem dwóch okręgów ściśle wiąże się pojęcie prostej potęgowej.

Twierdzenie. Dla każdego punktu płaszczyzny A, jeśli punkty $B$ i $C$ są punktami przecięcia dowolnej prostej $k$ przechodzącej przez punkt $A$ z okręgiem $o$ , to potęga punktu A względem okręgu $o$ jest równa $|AB| \cdot |AC|$, jeśli A leży na zewnątrz okręgu, oraz jest równa $-|AB| \cdot |AC|$, jeśli A leży wewnątrz okręgu. W szczególności, jeśli punkt $D$ jest punktem styczności prostej $k$ z okręgiem, to $P(A,o)=|AD|^2$ .

Dowód.Dla dwóch dowolnych siecznych $ABC$ i $ADE$, z podobieństwa trojkątów $ACD$ i $AEB$ wynika proporcja $\frac{|AC|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AB|}$, co po przekształceniu daje tezę: $|AB| \cdot |AC| = |AD| \cdot |AE|$. Widzimy, że dla siecznej $AO$ (przechodzącej przez środek okręgu) $P(A,o)=|AB| \cdot |AC|= (|AO|-r) \cdot (|AO|+r)=|AO|^2-r^2\;$.

W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.