Potencjał

Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

Definicja

Jeżeli dla danego pola wektorowego $\vec A(\vec r)$ istnieje pole skalarne $\varphi (\vec r)$, takie że w każdym punkcie jego gradient jest równy wektorowi danego pola ze zmienionym zwrotem:

$\vec A (\vec r)= - \nabla \varphi (\vec r)$

to pole $\vec A(\vec r)$ nazywamy polem potencjalnym, a $\varphi (\vec r)$ jego potencjałem. Definicja potencjału skalarnego nie określa go jednoznacznie, bo dodanie do $\varphi (\vec r)$ jakiejkolwiek wielkości stałej C nie wpływa na wektor $\vec A(\vec r)$. Gdy trzeba pozbyć się tej dowolności, wprowadza się dodatkowy warunek określający wartość stałej C.

W konkretnych przypadkach pól fizycznych spotyka się w literaturze inne definicje potencjału, ale wszystkie one są równoważne powyższej.

Właściwości

• W przypadku pola sił potencjalność tego pola jest równoważna zachowawczości tych sił.
• Warunkiem koniecznym i wystarczającym do potencjalności pola jest jego bezwirowość, czyli zerowa rotacja

$\operatorname{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \vec{0}$

Jeżeli dla każdego punktu określonego przez wektor $\vec r$ pole sił dane jest funkcją ${\vec F(\vec r)}$, to zależność na potencjał punktu $\vec r$ względem $\vec r_0$ przyjmie postać całki krzywoliniowej:

$Q(\vec r)=\int\limits_{L(\vec r,\vec r_0)}\vec{F}(\vec r)\mathrm{d}\vec{l},$

Potencjał pola centralnego

Pole centralne jest zawsze potencjalne. Potencjał pola centralnego zależy jedynie od odległości od centrum pola. Jeżeli środek układu współrzędnych znajduje się w centrum pola, to:

$\vec A ( \vec r) = - \frac {d \varphi (r)} {d r} \frac {\vec r } r$

Przykłady potencjałów pól fizycznych

W fizyce najpopularniejsze pola potencjalne to pole grawitacyjne oraz pole elektryczne. Jako punkt odniesienia do obliczania potencjału (miejsce, w którym potencjał wynosi zero) przyjmuje się często nieskończoność. W elektrotechnice i elektronice bywa to często potencjał ziemi, przewód ochronny, czy wydzielony fragment obwodu nazywany masą.

Potencjał pola elektrycznego

• Inna spotykana definicja potencjału pola elektrycznego to stosunek energii potencjalnej $E_p$ ładunku próbnego q umieszczonego w tym punkcie, do wartości tegoż ładunku q:

$\varphi_E = \frac {E_p}{q}$

• Niekiedy potencjał pola elektrycznego w punkcie "P" definiuje się również jako stosunek pracy W wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku q z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku (Definicja ta z góry zakłada zero potencjału elektrycznego w nieskończoności):

$\varphi_{P} = \frac{W_{P\rightarrow\infty}}{q}$.

• Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola elektrycznego $\vec E(\vec r)$ jest pole skalarne $\varphi_E (\vec r)$, takie że:

$\vec E (\vec r) = - \nabla \varphi_E (\vec r)$

Jednostką potencjału pola elektrycznego jest wolt (V). Bardzo często używa się też pojęcia napięcia elektrycznego będącego różnicą potencjałów w dwóch punktach.

Potencjał harmoniczny

Pole siły harmonicznej określone jest przez:

$\vec{F}(\vec r)=-k \vec{r}$

Pole jest centralne, potencjał (tożsamy z energią potencjalną) wynosi

$\varphi_S = \frac {k r^2} 2$

Często stosuje się ten potencjał w postaci jednowymiarowej, wtedy

$F(x)=-k x\,$    oraz    $\varphi_S = \frac {k x^2} 2$

Potencjał pola prędkości

Potencjał pola prędkości ośrodka ciągłego jest przykładem potencjału nie mającego bezpośredniego związku z energią. Wprowadza się go w mechanice ośrodków ciągłych by otrzymać opis ruchu niezależny od wyboru układu odniesienia.

W przepływie bezwirowym płynu nielepkiego pole prędkości ośrodka $\vec v(\vec r)$ można opisać przez jej potencjał $\varphi (\vec r)$:

$\vec v (\vec r) = - \nabla \varphi (\vec r)$

Przepływ dla którego można określić potencjał pola prędkości nazywa się przepływem potencjalnym.

Prędkość w powyższym wzorze oznacza prędkość ośrodka w ustalonym punkcie przestrzeni (podejście Eulera), a nie prędkość ustalonego punktu ośrodka poruszającego się w przestrzeni (częściej stosowane podejście Lagrange'a).

Potencjał pola grawitacyjnego

• Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola grawitacyjnego $\vec g(\vec r)$ jest pole skalarne $\varphi_g (\vec r)$, takie że:

$\vec g (\vec r) = - \nabla \varphi_g (\vec r)$

• W sąsiedztwie punktu materialnego o masie M lub sferycznie symetrycznej masy M

$\vec g (\vec r) = - \frac { G M } {r^2} \frac {\vec r} r$

gdzie G jest stałą grawitacyjną. Pole grawitacyjne jest wtedy centralne, a jego potencjał wynosi

$\varphi_g (r) = - \frac {G M} r$

Zobacz też

• czteropotencjał
• potencjał wektorowy
• energia potencjalna