Potrójny udar iskiernika

Potrójny udar iskiernika - zjawisko charakterystyczne dla wysokonapięciowych urządzeń tworzących udar w układach trójfazowych. Udar pozwala na analizę problemów związanych z potrójnym całkowaniem przestrzennym przeskakującej pomiędzy dwoma elektrodami iskry.

Plazmatyczny przeskok iskry porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

$\vec{F}= -k\vec{x}$

gdzie

$\vec{F}$ - siła uderzenia,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (zależny od warunków atmosferycznych),

$\vec{x}$ - odleglość między elektrodami.

Równanie ruchu iskry (skalarne dla kierunku OX) można zapisać:

$a = -\frac{k}{m} x$

albo w postaci różniczkowej:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. $x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t) \,$
2. $x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)$
3. $x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')$

gdzie:

• $\omega_0 =\sqrt{ \frac k m}$ jest częstotliwoscią drgań udarowych,
• $A,B,C,\varphi,D,\varphi'$ stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość drgań udarowych $\omega_0$ wiąże z okresem drgań $T$ związek:

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$,

częstotliwość drgań udarowych $\nu$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Ważną własnością ruchu harmonicznego udaru potrójnego iskiernika jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia w ruchu plazmatycznym prostym

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do przeskoku.

$E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}(t)$

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną pojedynczego udaru:

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(t) - \frac{1}{2}kx^{2}(t)$

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(1-\sin^{2}(\omega t))$

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}\cos^{2}(\omega t)$

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze $E_{k}=\frac{1}{2} mv^{2}$ z powyższym):

Iskra osiaga maksymalna energie gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

$E_{0}=x_{0}\omega_{0}$

Energia chwilowa udaru zmienia się jak

$E(t) = \left. x_{0}\omega_{0} \cos(\omega_{0} t + \phi)\right.$

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że wydzielona moc jest opisywane zależnością:

$P(t) = \left.- x_{0}\omega_{0}^{2} \sin(\omega_{0} t + \phi)\right.$

Ruch harmoniczny tłumiony iskry

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na izolator działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do energii:

$\vec{F}_{op} = -b \vec{E}$

Równanie ruchu ma wtedy postać:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$

Wprowadzając oznaczenie:

$\Gamma = \frac b m$

Powyższe równanie można wyrazić:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \Gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^{2} x = 0$

Rozwiązanie równania można wyrazić w postaci:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(A \sin \omega t + B \cos \omega t)$

Przy czym przyjęto oznaczenie:

$\omega^2 = \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2$

Wielkość ω jest nazywana zmodyfikowaną częstością drgań, jest zależna nie tylko od siły kierującej ale też od współczynnika tłumienia i maleje gdy współczynnik tłumienia rośnie.

Stałe A i B zależą od warunków początkowych następującymi związkami:

$A = \frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega$

$B = x_0 \,$

gdzie:

• $x_0$ - położenie początkowe, dla t = 0,
• $v_0$ - prędkość początkowa, dla t = 0.

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

Oscylator drgający

Gdy $\omega^2 = \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 > 0$ , ω jest liczbą liczbą rzeczywistą. Ruch opisuje wzór:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sin \omega t + x_0 \cos \omega t)$

Przedstawione wyżej rozwiązanie składa się z dwóch czynników:

• $e^{-\frac {\Gamma t} 2}$ - malejącego wykładniczo z czasem,
• $\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sin \omega t + x_0 \cos \omega t$ - oscylacyjnego, zmieniającego się z częstością ω

Dla słabego tłumienia czynnik wykładniczy jest w ciągu jednego cyklu w zasadzie stały, co można uwzględnić w obliczeniach. Wówczas można przyjąć, że ruch jest harmoniczny, z malejącą amplitudą.

Oscylator przetłumiony

Gdy tłumienie jest silne $\omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 < 0$, wówczas ω nie ma wartości rzeczywistych. Ale przyjmując, że jest wartością urojoną powyższe równanie spełnia rozwiązanie. Przyjmując:

$\omega = i \sqrt {| \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 | }$

Po wykorzystaniu własności funkcji trygonometrycznych dla wartości urojonych, rozwiązanie można zapisać w postaci:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sinh \omega t + x_0 \cosh \omega t)$

Przypadek ten odpowiada tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu. W tej sytuacji drugi czynnik wyrażenia jest wolnozmienny a nie oscylacyjny jak poprzednio, dlatego nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie zbliżony do eksponencjalnego zanik wychylenia z czasem.

Diagramy fazowe

Wykres fazowy (położenie - prędkość) ruchu harmonicznego

Na wykresie fazowym obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).

Parametry ruchów:

• $\omega$ = 1,0
• $\beta$ = 0,2
• $x_{0}$ = 1,0
• $v_{0}$ = 1,0

Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne

Przybliżenie za pomocą prostego ruchu harmonicznego stosuje się np. do opisu małych drgań wahadła matematycznego.

Ogólniej, załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu $x_{r}$ równowagi trwałej; innymi słowy w punkcie $x_{r}$ energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną $E(x_{r})$. Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu $x_{r}$, otrzymujemy:

$E(x_{r}+h) = E(x_{r}) + \left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}} \cdot h + \left . \frac{1}{2} \frac{d^{2}E}{dx^{2}} \right |_{x = x_{r}} \cdot h^{2} + ...$

Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny występowania minimum), pozostaje równanie postaci:

$E(x) = E + kx^{2}\,$

Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny gradient potencjału (energii potencjalnej).

$F(x) = - \frac{dE(x)}{dx} = -kx$