Powinowactwo osiowe

Powinowactwo osiowe to rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo osiowe f o osi k jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta k jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja - Odwzorowanie geometryczne f na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi k, jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej k i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi k.

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi k: dowolny punkt A i jego obraz punkt A'.

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba s spełniająca warunek: $\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA}$, gdzie punkty A_P i A'_P są rzutami prostokątnymi punktu A i jego obrazu A' na oś k.

Własności

• dla dowolnych punktów A i B nie będących punktami stałymi powinowactwa osiowego f proste Af(A) i Bf(B) są równoległe.
• jeśli wektor powinowactwa jest zerowy (A=A'), to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
• jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa k.
• jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa k i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
• powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k i wektor powinowactwa.
• powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k, kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa s różny od 1.

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

• powinowactwo prostokątne - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa
• powinowactwo ścinające (ścięcie) - kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa
• symetria skośna - środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa
• symetria osiowa - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Literatura

• Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: 1978. 

Zobacz też

• jednokładność
• izometria
• grupa
• homeomorfizm