Prędkość

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange'a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d'Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d'Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Prędkość:

• wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.
• skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Definicje prędkości

Prędkość w ruchu prostoliniowym

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla malejących odcinków czasu. Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej na podstawie dłuższego odcinka czasu i drogi.

$v={\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta x \over \Delta t}$

Prędkość średnia wektorowa

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie definiuje się jako:

$\vec v_{s}=\frac{{\Delta}\vec r}{\Delta t}$

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

$\Delta \vec{r}=\vec{v}_{s}\cdot \Delta t$

Prędkość jako wielkość niewektorowa

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

$v = \frac {ds} {dt} = |\vec v|$

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

$s = \int\limits^{t_1}_{t_0} v(t)\; dt =\int\limits^{t_1}_{t_0}\; ds(t)$

Stąd też zależność na prędkość średnią:

$v_s = \frac {\int\limits^{t_1}_{t_0}\; ds(t)} {{t_1} - {t_0}}$

$v_{s}=\frac{s}{t}\ge |\vec v_{s}|$

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych

Układ współrzędnych kartezjańskich

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

$v_{x}=\frac{dx}{dt}\quad \quad v_{y}=\frac{dy}{dt}\quad \quad v_{z}=\frac{dz}{dt}$

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

$\vec{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$

lub z użyciem wersorów osi

$\vec{v}=v_{x}\cdot \vec{i}_{x}+v_{y}\cdot \vec{i}_{y}+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}$

Wartość prędkości dana jest wzorem:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

Układ współrzędnych biegunowych

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości

• prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego

$v_{r}=\frac{dr}{dt}$

• prędkość transwersalna - prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

$v_{\varphi }=r\frac{d\varphi }{dt}$

gdzie ${\varphi }\,$ jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\varphi }\cdot \vec{i}_{\varphi }$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}$

Układ współrzędnych walcowych

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z :$v_{z}=\frac{dz}{dt}$

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{z}^{2}}$

Układ współrzędnych sferycznych

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

$v_{\phi }=r\frac{d\phi }{dt}$

gdzie ${\phi }\,$ jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku np. od osi 0Z

$v_{\theta }=r\sin \phi \cdot \frac{d\theta }{dt}$

gdzie kąt ${\theta }\,$ jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{\theta }\cdot \vec{i}_{\theta }$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}$

Prędkość kątowa

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

$\omega =\frac{d\varphi }{dt}$

gdzie φ jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując φ jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

$\vec{\omega }=\frac{d\vec{\varphi }}{dt}$

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

$\vec{v}_{\varphi }=\vec{\omega }\times \vec{r}$

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

$\vec v = \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{x(T)-x(0)}{T}\hat{i_x}$

$|\vec v|=\frac{x(T)-x(0)}{T}=\frac{S}{T}=\textrm{const}$

Gdzie:

• $\vec r(t)$ - wektor położenia jako funkcja czasu t
• S - przebyta droga
• T - czas trwania ruchu
• x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Przyspieszenie $\vec a$ jest stałe i niezerowe, więc prędkość $\vec v$ zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

$\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \Rightarrow \Delta \vec v = \vec a \Delta t$

$\vec v(T) - \vec v(0) = \vec a T \Rightarrow \vec v(T)=\vec v(0) + \vec a T$

Gdzie:

• T - całkowity czas ruchu
• $\vec v(t)$ - wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia $\vec a$ jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości - $\vec v(t)$.

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)

W tym ruchu wektor prędkości kątowej $\vec \omega$ jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

$\omega =\frac{\Delta \phi }{t}$

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

$v=\omega r\,$

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

$x(t)=r\cos\omega t \,$

$y(t)=r\sin\omega t\,$

Zobacz też

• prędkość
  • prędkość kosmiczna
  • prędkość maksymalna
  • prędkość ucieczki
  • prędkość światła
• przyspieszenie