Prawa rachunku kwantyfikatorów

Ważniejsze prawa rachunku kwantyfikatorów

• prawo dictum de omni - "orzekania o wszystkim"

$\forall \phi(x) \Rightarrow \phi(x)$

• prawo generalizacji egzystencjalnej

$\phi(x) \Rightarrow \exists \phi(x)$

• prawo subalternacji

$\forall \phi(x) \Rightarrow \exists \phi(x)$

• Prawa zmiany zmiennych związanych:

$\forall \phi(x) \Leftrightarrow \forall \phi(y)$

$\exists \phi(x) \Leftrightarrow \exists \phi(y)$

• prawa De Morgana (negowania kwantyfikatorów)

$\neg \forall x \phi(x) \Leftrightarrow \exists x \neg \phi(x)$

$\neg \exists x \phi(x) \Leftrightarrow \forall x \neg \phi(x)$

• przemienność :

kwantyfikatora ogólnego

$\forall x \forall y \phi(x,y) \Leftrightarrow \forall y \forall x \phi(x,y)$

kwantyfikatora egzystencjalnego

$\exists x \exists y \phi(x,y) \Leftrightarrow \exists y \exists x \phi(x,y)$

• Przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny ( nie odwrotnie ! )

$\exists x \forall y \phi(x,y) \Rightarrow \forall y \exists x \phi(x,y)$

→Kontrprzykład: gdy ф(x,y) jest postaci : x<y (x,y należy do rzeczywistych)

• rozdzielność względem koniunkcji:

$\forall x ( \phi (x) \land \psi(x)) \Leftrightarrow \forall x \phi (x) \land \forall x \psi (x)$

• rozdzielność względem alternatywy:

$\exists x ( \phi (x) \lor \psi(x)) \Leftrightarrow \exists x \phi (x) \lor \exists x \psi (x)$

• brak rozdzielności:

$\forall x ( \phi (x) \lor \psi(x)) \Leftarrow \forall x \phi (x) \lor \forall x \psi (x)$

→Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x>2, Ψ(x) prawdziwe dla x≤2

$\exists x \phi (x) \land \exists x \psi (x) \Leftarrow \exists x ( \phi (x) \land \psi(x))$

→Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x=1, Ψ(x) prawdziwe dla x=2

$\forall x ( \phi (x) \Rightarrow \psi(x)) \Rightarrow \forall x \phi (x) \Rightarrow \forall x \psi (x)$

→Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x>2, Ψ(x) prawdziwe dla x≤2

Zobacz też

• Kwantyfikator
• Kwantyfikator ogólny
• Kwantyfikator egzystencjalny