Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$, gdzie $P(B)>0$ nazywamy liczbę

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Jest to iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń $A , B$ i prawdopodobieństwa zdarzenia $B .$

Używa się też oznaczenia $P_{\boldsymbol{B} }(A):=P(A|B)$. Oczywiście $P_{\boldsymbol{B} }$ jest miarą probabilistyczną.

Prawdopodobieństwo warunkowe zbioru

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, P )$ stanowi przestrzeń probabilistyczną, $A \in \mathcal F$ oraz $\mathcal G \subseteq \mathcal F.$

Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru $A\$ pod warunkiem σ-ciała $\mathcal G\$ nazywamy zmienną losową:

$P(A|\mathcal G) := \mathbb E($$\color{blue}\mathbf 1_{A}$$|\mathcal G).$

Przykłady

Przykład 1

Mamy dwie urny - w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

$A$ oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała,

$B$ oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem, jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie $A$, to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $A$, oznaczane przez $P(B|A)$, jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech $A$ oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast $B$ zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

$P(A \cap B) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{\bar{\bar{\Omega}}}$,

$P(B) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{\bar{\bar{\Omega}}}$

Z definicji: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$

Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne tj. $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ to $P(A|B)=P(A) \,$.

Zobacz też

• warunkowa wartość oczekiwana
• teoria prawdopodobieństwa
• twierdzenie Bayesa