Prawo Ohma

Teoria obwodów
Wielkości fizyczne
Elementy
Połączenie szeregowe i równoległe
Obwód elektryczny
Metody obliczeniowe
Czwórnik

Prawo Ohma – prawo głoszące proporcjonalność natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia panującego między końcami przewodnika. Prawidłowość odkrył w latach 1825-1826 roku niemiecki fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium Georg Simon Ohm.

Historia i znaczenie

• W 1822 Humphry Davy opublikował rezultaty badań przewodzenia prądu elektrycznego w metalach. Stwierdził, że przewodnictwo drutów metalowych jest odwrotnie proporcjonalne do ich długości, a wprost proporcjonalne do pola powierzchni przekroju. Davy uporządkował też przewodniki ze względu na ich zdolność przewodzenia prądu.
• Georg Simon Ohm (wówczas gimnazjalny nauczyciel matematyki) badał zależność prądu elektrycznego od wymiarów przewodnika i przyłożonego napięcia od roku 1825. Stwierdził, że prąd jest zależny od przyłożonego napięcia, ale jego prace były niejasne i skomplikowane, nie znalazły szerszego uznania.
• W 1826 Ohm zaproponował opis swoich doświadczeń w postaci zbliżonej do znanej dzisiaj, stwierdzając, że prąd płynący w przewodniku jest proporcjonalny do przyłożonego napięcia. Mimo to upłynęło jeszcze kilka lat, zanim zostały one przyjęte przez środowiska naukowe.
• W latach 1845-1847 Gustav Kirchhoff przeprowadził analizę teoretyczną przepływu prądu i powiązał gęstość prądu z polem elektrycznym wewnątrz przewodnika.
• W 1900 Paul Drude sformułował swój model przewodnictwa metali, który wyjaśnił stwierdzoną doświadczalnie przez Ohma proporcjonalność prądu do napięcia.

Współcześnie wiadomo, że wiele materiałów zachowuje się inaczej niż stwierdził Ohm i proporcjonalność napięcia i prądu nie jest zachowana (prawo Ohma nie jest spełnione). Materiały i elementy elektroniczne, dla których spełnione jest prawo Ohma nazywa się liniowymi (lub omowymi), a dla których nie - nieliniowymi (lub nieomowymi).

Mimo że prawo Ohma nie jest uniwersalnym prawem przyrody, a jedynie relacją spełnioną dla pewnej klasy materiałów w ograniczonym zakresie napięć i prądów, ma duże znaczenie historyczne, a także praktyczne. Było ono pierwszym ilościowym matematycznym opisem przepływu prądu elektrycznego.

Sformułowanie

Dla prądu stałego proporcjonalność napięcia U i prądu I wyraża się wzorem:

$U = R\, I \,$

Współczynnik proporcjonalności R nazywa się rezystancją lub oporem elektrycznym.

Współczynnik proporcjonalności pomiędzy prądem i napięciem, oznaczany jest zwykle przez G

$I = G\, U\,$

nosi on nazwę konduktancji i jest odwrotnością rezystancji

$\frac{1}{G} = R$

Prawo Ohma jest prawem doświadczalnym i w niektórych materiałach (w szczególności w metalach) jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub "przewodnikami liniowymi" - w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Prawo to także nie jest spełnione gdy zmieniają się parametry przewodnika, szczególnie temperatura.

Zależność oporu od rozmiarów przewodnika

Opór odcinka przewodnika o stałym przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do długości tego odcinka l i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju S:

$R=\rho{{l}\over{S}}$.

Zależność ta została stwierdzona doświadczalnie przez Davego jeszcze przed sformułowaniem prawa Ohma, a wyjaśniona teoretycznie przez Drudego w oparciu o jego model elektronów swobodnych. Stała ρ nosi nazwę rezystywności lub oporu właściwego i jest charakterystyczna dla materiału przewodnika. Odwrotność rezystywności nazywa się konduktywnością lub przewodnictwem właściwym, często jest oznaczana przez σ:

$\sigma =\frac 1 \rho$.

Prawo Ohma w postaci różniczkowej

Prąd o gęstości j płynący w polu elektrycznym E przez element o długości dl o przekroju dS

Stosując prawo Ohma do elementarnego odcinka izotropowego przewodnika o długości dl i powierzchni przekroju dS (rysunek) można napisać

$dI =\frac 1 R dU$.

Wyrażając natężenie prądu za pomocą jego gęstości $\vec j$:

$dI = \vec j \vec {dS}$

oraz napięcie za pomocą natężenia pola elektrycznego $\vec E$:

$dU = \vec E \vec {dl}$

otrzymuje się:

$\vec j \vec {dS} = \frac 1 R \vec E \vec {dl}$,

wybierając przekrój dS prostopadle do kierunku płynącego prądu oraz podstawiając jako 1/R

$\frac 1 R = \sigma \frac {dS} {dl}$,

otrzymamy

$\vec j = \sigma \vec E$

Równanie to wiąże lokalną gęstość prądu z natężeniem pola elektrycznego w przewodniku. Zostało wyprowadzone przez Kirchhoffa, często jest nazywane prawem Ohma w postaci różniczkowej.

Prawo Ohma dla prądu zmiennego

W obwodach prądu zmiennego przebiegi prądu mogą być przesunięte w fazie w stosunku do napięcia. W takiej sytuacji do opisu zależności przemiennego prądu od napięcia stosuje się zwykle liczby zespolone, a odpowiednikiem oporu jest zespolona impedancja Z:

${u(\omega, t)} = Z(\omega) \ {i(\omega, t)}$,

gdzie

u(ω, t) - zespolone napięcie przemienne;

i(ω, t) - zespolony prąd przemienny;

Z(ω) - impedancja.

Rezystancją nazywa się wtedy część rzeczywistą impedancji, a konduktancją część rzeczywistą odwrotności impedancji (nazywanej admitancją):

$R (\omega)=Re (Z(\omega))\ \ \ \ G(\omega)=\frac {R(\omega)} {|Z(\omega)|^2}$

W obwodach liniowych (spełniających prawo Ohma) impedancja nie zależy od amplitudy napięcia ani prądu, a amplituda prądu jest wtedy proporcjonalna do amplitudy napięcia.

Prawo Ohma w materiałach anizotropowych

W materiałach anizotropowych kierunek przepływu prądu elektrycznego nie musi być zgodny z kierunkiem przyłożonego pola elektrycznego. Zależność między gęstością prądu i natężeniem pola elektrycznego ma postać:

$\vec j = \hat \sigma \vec E$.

Konduktywność $\hat \sigma$ jest wtedy tensorem, a jeżeli materiał jest liniowy (omowy), to wszystkie jej składowe są stałe.

Opór w obwodach nieliniowych

Jeżeli elementy obwodu są nieliniowe (nie spełniają prawa Ohma) wielkość oporu zdefiniowana przez

$R=\frac U I$

nie jest stała. Nazywa się go oporem całkowym, rezystancją statyczną lub całkową.

Definiuje się również różniczkowy opór elektryczny w postaci:

$R={{dU}\over{dI}}$

Rezystancje statyczna i dynamiczna elementów liniowych są stałe i sobie równe.

Literatura

1. Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia fizyki : od czasów najdawniejszych do współczesności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14635-4. 
2. Andrzej Januszajtis: Fizyka dla politechnik. Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-01665-5. .
3. David J. Grffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006.
4. I.W. Sawieliew: Wykłady z fizyki 2. Wyd. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-11605-6.