Prawo iterowanego logarytmu

Prawo iterowanego logarytmu to zespół twierdzeń z rachunku prawdopodobieństwa opisujących rozmiar fluktuacji w błądzeniu przypadkowym.

Nieskończone serie prób Bernoulliego

Poniżej znajduje się sformułowanie prawa iterowanego logarytmu dla prób Bernoulliego.

Rozważmy nieskończony ciąg prób Bernoulliego. Przez p oznaczmy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie i niech q=1-p będzie prawdopodobieństwem porażki w pojedynczej próbie. Niech S_n oznacza liczbę sukcesów w pierwszych n próbach, a S_n^* oznacza "unormowaną" liczbę sukcesów określoną wzorem

$S_n^{*} = \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}$

Niech ponadto A(λ, n) oznacza zdarzenie polegające na tym, że spełniona jest następująca nierówność

$S_n^{*} > \lambda \sqrt{2 \log \log n}$

Prawo iterowanego logarytmu

Jeżeli λ>1 to z prawdopodobieństwem 1 zachodzi tylko skończenie wiele spośród zdarzeń A(λ, n). Jeżeli zaś λ<1 to z prawdopodobieństwem 1 zachodzi nieskończenie wiele spośród zdarzeń A(λ, n).

Zobacz również

• Lematy Borela-Cantelliego,
• Prawo wielkich liczb.