Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia – prawo logiki formalnej. Występuje w formie silnego prawa podwójnego przeczenia:

$\lnot\lnot p \to p\,\!$,

oraz słabego prawa podwójnego przeczenia:

$p \to \lnot\lnot p\,\!$.

Silne prawo podwójnego przeczenia dodane do aksjomatów intuicjonistycznego rachunku zdań tworzy aksjomatykę klasycznego rachunku zdań. Skąd też niejawnie wynika, że w rachunku intuicjonistycznym jest ono niedowodliwe.

Natomiast Słabe prawo podwójnego przeczenia z kolei jest tezą rachunku intuicjonistycznego:

1.	$(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p$	prawo redukcji do absurdu
2.	$[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p]\to\{p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p]\}$	prawo poprzedzania
3.	$p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p$	reguła odrywania: 1,3
4.	$\{p\to[(\neg p\to \neg\neg p) \to \neg\neg p\}\to\{[p\to(\neg p\to\neg\neg p)]\to[p\to\neg\neg p]\}$	sylogizm Fregego
5.	$[p\to(\neg p\to\neg\neg p)]\to[p\to\neg\neg p]$	reguła odrywania: 3,4
6.	$p\to(\neg p\to\neg\neg p)$	prawo przepełnienia
7.	$p\to\neg\neg p$	reguła odrywania: 5,6

Jawny dowód niewyprowadzalności silnego prawa podwójnego przeczenia dostajemy z jednego spośród twierdzeń o pełności dla intuicjonistycznego rachunku zdań, zgodnie z którym formuła zdaniowa jest tezą rachunku intuicjonistycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona prawdziwa w dowolnej algebrze Heytinga. Poniżej widzimy algebrę Heytinga ($H=\{0,1\}\times\{0,1,2\}$ z porządkiem "po współrzędnych"), w której silne prawo podwójnego przeczenia nie zachodzi:

Mianowicie w algebrze tej: $\neg\neg c=d\ne c$.

W algebrze tej nie zachodzi także prawo wyłączonego środka (tertium non datur): $p\vee\neg p$.

W rzeczy samej, w algebrze tej $c\vee\neg c=c\vee a=b$.

Jest to o tyle naturalne, że w intuicjonistycznym rachunku zdań dowodliwa jest formuła $(p\vee\neg p)\to(\neg\neg p\to p)$:

1.	$\neg p\to(\neg\neg p\to p)$	prawo redukcji do absurdu
2.	$p\to(\neg\neg p\to p)$	prawo poprzedzania
3.	$\big(p\to(\neg\neg p\to p)\big)\to\Big[\Big(\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\to\Big(p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\Big]$	prawo łączenia implikacji
4.	$\Big(\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)\to\Big(p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p)\Big)$	reguła odrywania: 2,3
5.	$p\vee\neg p\to(\neg\neg p\to p)$	reguła odrywania: 1,4

Natomiast w algebrze tej prawdziwe jest słabe prawo wyłączonego środka: $\neg p\vee\neg\neg p$.

Zobacz też

• Intuicjonistyczny rachunek zdań

Bibliografia

• Marciszewski, Witold (red.) [1987]. Logika formalna. Zarys encyklopedyczny z zastosowaniem do informatyki i lingwistyki, PWN, Warszawa.
• Marciszewski, Witold (red.) [1988]. Mała encyklopedia logiki, wyd. 2 rozszerzone, Ossolineum, Wrocław ( 1sze wyd. 1970).
• Pogorzelski, Witold [1992] Elementarny słownik logiki formalnej, wyd. Filii UW, Białystok.