Problem NP-trudny

W teorii złożoności obliczeniowej problem NP-trudny (NPH) to taki problem obliczeniowy, którego rozwiązanie jest co najmniej tak trudne jak rozwiązanie każdego problemu z klasy NP.

Formalna definicja problemu NP-trudnego jest następująca: problem $\pi_2$ jest NP-trudny jeżeli pewien problem NP-zupełny $\pi_1$ jest do niego redukowalny wielomianową transformacją Turinga.

Innymi słowy, problem NP-zupełny $\pi_1$ można rozwiązać w wielomianowym czasie algorytmem rozwiązującym problem NP-trudny $\pi_2$, przez wykorzystanie hipotetycznej procedury $H$ sprowadzającej problem NP-zupełny $\pi_1$ do problemu NP-trudnego $\pi_2$, jeżeli tylko $H$ daje się wykonać w wielomianowym czasie. NP-trudność można zdefiniować także w kategorii języków formalnych (a nie problemów). Do klasy problemów NP-trudnych mogą należeć problemy różnego typu: decyzyjne, przeszukiwania, optymalizacyjne.

Wraz z definicjami klas problemów NP i NP-zupełnych ma to następujące konsekwencje:

• problem optymalizacyjny, którego wersja decyzyjna jest NP-zupełna jest problemem NP-trudnym;

• NP-trudny problem $\pi_2$ jest co najmniej tak trudny jak problem $\pi_1$;

• ponieważ $\pi_1$ jest problemem NP-zupełnym dlatego należy on do klasy problemów najtrudniejszych w NP, dlatego NP-trudny problem $\pi_2$ jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP;

• ponieważ wszystkie problemy NP-zupełne transformują się wzajemnie do siebie (zwykłą) transformacją wielomianową (nie Turinga) to również wszystkie problemy NP-zupełne można rozwiązać przez redukcję do NP-trudnego problemu $\pi_2$;

• ponadto, jeśli $P \neq NP$, to problemy NP-trudne nie mają rozwiązań w czasie wielomianowym, natomiast rozstrzygnięcie $P = NP$ nie przesądza o wielomianowej rozwiązywalności wszystkich problemów NP-trudnych;

• jeżeli problem $\pi_2$ należy do klasy NP, to $\pi_2$ jest też problemem NP-zupełnym (gdyż wraz z istniejącą transformacją Turinga spełnia definicję problemu NP-zupełnego).

Przykłady

• Problem komiwojażera
• Problem plecakowy
• Problem zbioru niezależnego
• Problem zbioru wierzchołków rozrywających cykle

Zobacz też

• Problem silnie NP-zupełny
• Problem liczbowy
• Algorytm pseudowielomianowy

Bibliografia

• M.R.Garey, D.S. Johnson, Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP-Completeness, W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1979.
• Christos H. Papadimitriou, Złożoność obliczeniowa, WNT, 2002.
• T. H. Cormen, C. E. Leiserson, C. Stein i R. L. Rivest, Introduction to Algorithms, The MIT Press/McGraw-Hill Company 1990 (wydanie polskie: Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004).
• M. Kubale, Łagodne wprowadzenie do analizy algorytmów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2004.

Linki zewnętrzne

• The Complexity Zoo