Problem kolekcjonera kuponów

Problem kolekcjonera kuponów opisuje klasę konkursów, w którym gracz otrzymuje wygraną po zebraniu wszystkich kuponów z określonej puli. Problem polega na przewidzeniu jak długo należy zbierać kupony, aby otrzymać wygraną. Problem ten jest interesujący z matematycznego punktu widzenia, jak i ma wiele zastosowań w informatyce.

Analiza problemu

Oto doprecyzowanie podstawowego wariantu problemu kolekcjonera kuponów:

1. mamy n urn;
2. do urn tych wrzucamy kolejno kule;
3. wybór każdej urny jest równo prawdopodobny oraz kolejne wybory są wykonywane niezależnie.

Interesuje nas liczba rzutów $T_n$, po której w każdej urnie znajdzie się co najmniej jedna kula. Liczba rzutów $T_n$ jest zmienną losową.

Problem ten można stosunkowo łatwo zanalizować rozbijając proces wypełniania urn na etapy. Załóżmy, że w pewnej chwili wypełnionych jest k urn i niech $T_{n,k}$ oznacza liczbę rzutów potrzebnych do zapełnienia k+1 urn (czyli do dorzucenia jednej kuli do pustych urn). Wtedy

1. $T_{n,k}$ jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem $(n-k)/n$
2. $T_n = T_{n,0} + T_{n,1} + \ldots + T_{n,n-1}$
3. zmienne $T_{n,0}, T_{n,1}, \ldots ,T_{n,n-1}$ są niezależne

Wartość oczekiwana

Korzystając z tego, że wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie geometrycznym z parametrem $p$ wynosi $1/p$ oraz z tego, że wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych jest równa sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych otrzymujemy

$E[T_n] = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k} = n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n-k} = n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

Suma $1/1+1/2+\ldots+1/n$ nazywana jest n-tą liczbą harmoniczną i oznaczana symbolem $H_n$. Ponadto

$H_n = \ln(n) + \gamma +\frac{1}{2 n}- \frac{1}{12 n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$

gdzie $\gamma = 0.57721..$ jest stałą Eulera–Mascheroniego. W konsekwencji,

$T_n = n \ln(n) + \gamma n + \frac{1}{2} - \frac{1}{12 n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right).$

Wariancja

Wariancję zmiennej losowej $T_n$ można wyznaczyć w podobny sposób jak wyznacza się wartość oczekiwaną. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym z parametrem $p$ ma wariancję równą (1-p)/p² oraz z wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, skąd wynika że

$\operatorname{var}[T_n] = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n k}{(n-k)^2} \leq n^2 \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)^2} = n^2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2} < n^2 \frac{\pi^2}{6} < 2 n^2.$.

Ponadto

$\frac{\sqrt{\operatorname{var}[T_n]}}{E[T_n]} = O\left(\frac{1}{\ln(n)}\right)$,

zatem asymptotycznie zmienna $T_n$ jest mocno skoncentrowana.

Bibliografia

• D.E. Knuth, O. Patashnik: Matematyka Konkretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. 
• William Feller: Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa,. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. 
• M. Mitzenmacher, Upfal: Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press, 2005.