Proporcja (matematyka)

Proporcja – równość dwóch stosunków postaci

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

lub (inny zapis)

$a\ :\ b=c\ :\ d\;$

W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami skrajnymi, b i c – środkowymi.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:

$ad = bc\;$

Reguła trzech

Jeśli dane są trzy wyrazy w proporcji, czwarty można wyliczyć posługując się wzorami:

$a=\frac{bc}{d},\qquad b=\frac{ad}{c},\qquad c=\frac{ad}{b},\qquad d=\frac{bc}{a}$

Wzory te znane są jako reguła trzech. W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej.

Proporcje pochodne

Z równania proporcji wynikają także inne proporcje: $\tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d},\quad$ $\tfrac{d}{b}=\tfrac{c}{a},\quad$ $\tfrac{a+b}{b}=\tfrac{c+d}{d},\quad$ $\tfrac{a-b}{b}=\tfrac{c-d}{d},\quad$ $\tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{a}{b},\quad$ $\tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{a}{b},\quad$ $\tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{c}{d},\quad$ $\tfrac{a-c}{b-d}=\tfrac{c}{d},\quad$ $\tfrac{a+b}{a-b}=\tfrac{c+d}{c-d},\quad$ $\tfrac{a-b}{a+b}=\tfrac{c-d}{c+d},\quad$ prawdziwe pod warunkiem, że dane wyrażenie ma sens (w mianowniku któregoś ułamka nie otrzymamy 0).

Proporcja harmoniczna

Proporcja postaci

$\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}$

jest nazywana proporcją harmoniczną. Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz a - b zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym.

Proporcja złożona

Zapis postaci

$a_1\ :\ a_2\ :\ \dots\ :\ a_n\ =\ b_1\ :\ b_2\ :\ \dots\ :\ b_n$

oznacza układ równań:

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}$

lub równoważnie:

$\begin{cases} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\\ \frac{a_2}{a_3}=\frac{b_2}{b_3}\\ \dots \\ \frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{b_{n-1}}{b_n} \end{cases}$

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 207-208. ISBN 83-02-02551-8. 

Zobacz też

• proporcja w sztuce
• proporcjonalność prosta
• proporcjonalność odwrotna
• dwustosunek