Proste skośne

Proste skośne – proste, które się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe. Równoważnie - dwie proste są skośne, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Proste skośne występują w trzech lub więcej wymiarach.

Jeśli każda z dwóch prostych jest zadana za pomocą pary nieidentycznych punktów, to proste te są skośne wtedy i tylko wtedy gdy cztery definiujące je punkty nie są współpłaszczyznowe.

Odległość między dwiema prostymi skośnymi

Dwie proste skośne, określone są przez dwie pary punktów (v₁,v₂) i (v₃,v₄).

Dowolne dwa punkty tych prostych mogą być zapisane jak wektor w postaci t(v₂-v₁) - v₁ i s(v₄-v₃) - v₃. Odległość między dwoma takimi punktami może być obliczona przy użyciu twierdzenia Pitagorasa do współrzędnych i przegrupowaniu wynikowego wielomianu z s i t jako

$\displaystyle As^2+2Bst+Ct^2+2Ds+2Et+F,$

gdzie

$A = (v_4-v_3) \cdot (v_4-v_3), B=(v_4-v_3) \cdot (v_1-v_2),$

$C = (v_1-v_2) \cdot (v_1-v_2), D=(v_4-v_3) \cdot (v_3-v_1),$

$E=(v_1-v_2) \cdot (v_3-v_1), F=(v_3-v_1) \cdot (v_3-v_1).$

Szukając minimum tego wyrażenia, otrzymujemy najmniejszą odległość między dwoma prostymi jako

$d^2 = \frac{ACF+2BDE-AE^2-CD^2-FB^2}{AC-B^2} = \frac{\det R}{\det S}$

gdzie $R=\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{bmatrix}$ i $S=\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}$.

Wykorzystując Tożsamość Lagrange'a można przepisać to do postaci:

$d = \frac{||(v_4-v_1) \wedge (v_3-v_1) \wedge (v_2-v_1)||}{||(v_4-v_3) \wedge (v_2 -v_1)||},$

w której operator $\wedge$ oznacza iloczyn zewnętrzny wektorów.