Przedział (matematyka)

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalne

Niech $(X,\preccurlyeq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $-\infty,\infty$ będą dwoma obiektami nie należącymi do $X\,$. Rozszerzmy porządek $\preccurlyeq$ na $X\cup\{-\infty,\infty\}$ tak, by element $\infty$ był większy niż wszystkie punkty z $X\,$, a element $-\infty$ mniejszy niż wszystkie punkty z $X\,$.

Dla $x,y\in X\cup \{-\infty,\infty\}$ takich, że $x \preccurlyeq y$ definiujemy następujące zbiory, nazywane przedziałami wyznaczonymi przez $x,y\,$:

• $(x,y):=\{z\in X: x \prec z \prec y\}$ – otwartym,
• $[x,y):=\{z\in X: x \preccurlyeq z \prec y\}$ – lewostronnie domkniętym (prawostronnie otwartym),
• $[x,y]:=\{z\in X: x\preccurlyeq z \preccurlyeq y\}$ – domkniętym (obustronnie),
• $(x,y]:=\{z\in X: x\prec z \preccurlyeq y\}$ – prawostronnie domkniętym (lewostronnie otwartym).

Niektórzy autorzy używają oznaczeń $(x,y)_X\,$, $[x,y]_X\,$ itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku. Czasami zamiast $[x,y]\,$ pisze się $\langle x,y\rangle$ i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy też zwrócić uwagę, że zarówno $(x,y)\,$ jak i $\langle x,y\rangle$ do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje następujące oznaczenia: $x,y\,$:

• $]x,y[:=\{z\in X: x \prec z \prec y\}$,
• $[x,y[:=\{z\in X: x \preccurlyeq z \prec y\}$,
• $[x,y]:=\{z\in X: x\preccurlyeq z \preccurlyeq y\}$,
• $]x,y]:=\{z\in X: x\prec z \preccurlyeq y\}$.

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady

• Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
  • $(0,1)\,$ – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż $1\,$,
  • $[2,e)\,$ – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych $2\,$, ale mniejszych niż $e\,$,
  • przedział nieskończony $(\pi,\infty)$ to zbiór wszystkich liczb większych niż $\pi\,$.
  • $(0,0)\,$ – przedział pusty
• Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: $(-5,5)_{\mathbb Z}$ jest zbiorem skończonym (jest to $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\,$) ale $(-5,5)_{\mathbb Q}$ jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział $(a,b]\,$ pomiędzy liczbami rzeczywistymi $a,b\in \mathbb R$ oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. $(a,b]_{\mathbb R}$, podobnie dla innych przedziałów.
• Rozważmy płaszczyznę $\mathbb R^2$ z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez $\langle x_1,y_1\rangle \prec \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leqslant x_2$ i $y_1\leqslant y_2$, gdzie relacja $\leqslant$ jest naturalnym porządkiem na prostej $\mathbb R$. Wówczas przedział domknięty $\big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{{\mathbb R}^2}$ jest domkniętem kwadratem o wierzchołkach w $\langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle$, tzn. zbiorem $\left\{\langle x,y\rangle\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant x \leqslant 1\ \and\ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}$.

Własności

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech $(X, \preccurlyeq)$ będzie porządkiem liniowym.

• Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
• Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem albo sumą dwóch przedziałów.
• Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
• Otwarte przedziały w $X\,$ tworzą bazę pewnej topologii na $X\,$ – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na $X\,$ albo topologią porządkową na $X\,$.
• Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na $\mathbb R$. Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też

• przedział jednostkowy
• przedział wielowymiarowy
• zbiór borelowski