Przedział wielowymiarowy

Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowy – podzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

Definicja

Niech $\scriptstyle P_1, \dots, P_k$ będą dowolnymi przedziałami w $\scriptstyle \mathbb R.$ Przedziałem $\scriptstyle k$-wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^k$ nazywa się zbiór postaci

$P^{(k)} = P_1 \times \dots \times P_k.$

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział $\scriptstyle 0$-wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których $\scriptstyle P_i$ dla pewnego $\scriptstyle i \in \{1, \dots, k\}$ w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla $\scriptstyle k = -1.$ Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle $\scriptstyle [0, 1],$ nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

Objętość

Objętością $\scriptstyle k$-wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału $\scriptstyle P \subset \mathbb R^k$ nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

$|P|_k = |P_1| \dots |P_k|,$

gdzie przez $\scriptstyle |\cdot|$ rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez $\scriptstyle |\cdot|_k$ — $\scriptstyle k$-wymiarowego; dla wygody indeks $\scriptstyle k$ bywa zwykle pomijany.

Konwencje

Może się zdarzyć, że dla $\scriptstyle k \geqslant 2$ przedział $\scriptstyle P_k$ może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki $\scriptstyle \infty$ oraz $\scriptstyle 0.$ Przykładem może być prosta $\scriptstyle \{(x, 0)\colon x \in \mathbb R\}$ na płaszczyźnie $\scriptstyle \mathbb R^2,$ która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

$0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0.$

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue'a. Symbol $\scriptstyle \infty$ należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli $\scriptstyle -\infty$ oraz $\scriptstyle +\infty$ (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu $\scriptstyle \infty$), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrzna

Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów $\scriptstyle P, Q \in \mathbb R^n$ zawieranie $\scriptstyle P \subseteq Q$ pociąga za sobą nierówność $\scriptstyle |P| \leqslant |Q|,$ to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości $\scriptstyle |\cdot|$ sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue'a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue'a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów $\scriptstyle \mathbb R^n.$

Zobacz też

• równoległościan wielowymiarowy

Bibliografia

• A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.