Przekształcenie wieloliniowe

Spis treści

1 Potęga kartezjańska
2 Przykłady
3 Uogólnienia
4 Zobacz też
5 Bibliografia
6 Przypisy

Przekształcenie wieloliniowe – w algebrze liniowej^[1] funkcja określona na iloczynie kartezjańskim^[2] przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelowa przestrzeń liniowa jest jednowymiarowa, utożsamia się ją z ciałem nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny; wówczas funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi.

Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest znana i wynosi $\scriptstyle n,$ to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach $\scriptstyle n$ -liniowych. Przekształcenia jednoliniowe i dwuliniowe opisano w osobnych artykułach, podobnie formy jednoliniowe i dwuliniowe (zob. przekształcenie liniowe, przekształcenie dwuliniowe, forma liniowa, forma dwuliniowa). Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

[edytuj] Potęga kartezjańska

Zobacz też: funkcja symetryczna, funkcja antysymetryczna i funkcja alternująca.

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N,$ gdzie $\scriptstyle M, N$ są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym $\scriptstyle R,$ gdzie $\scriptstyle n \geqslant 1,$ oraz permutacja $\scriptstyle \sigma$ należąca do grupy symetrycznej $\scriptstyle S_n.$ Zamiana argumentów funkcji $\scriptstyle \mathrm f$ miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez $\scriptstyle \sigma$ daje inną funkcję $\scriptstyle M^n \to N$ daną wzorem $\scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \mapsto \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right)$ ^[3]. Funkcję $\scriptstyle \mathrm f$ nazywa się odpowiednio

symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,

$\mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right) = \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n;$
antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,

$\mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \sigma) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n;$
alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,

$\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_i = \mathsf m_j \text{ dla } i \ne j \text{ oraz } n \geqslant 2.$

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami $\scriptstyle 1, 2, \dots, n,$ jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych^[4]. Jeżeli $\scriptstyle n \geqslant 2,$ to przekształcenie wieloliniowe $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N,$ które jest alternujące, jest również antysymetryczne^[5]; w ogólności dla $\scriptstyle n \geqslant 2$ dowolna funkcja $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N$ jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n)$

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_i = \mathsf m_{i+1}$

dla $\scriptstyle i = 1, \dots, n - 1$ ^[6]. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli $\scriptstyle 2$ jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia^[7] – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji $\scriptstyle M^n \to N$ tworzy moduł nad pierścieniem $\scriptstyle R,$ a przekształcenia wieloliniowe $\scriptstyle M^n \to N$ tworzą podmoduł wspomnianego modułu^[8]; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu^[9] (zob. przestrzeń funkcyjna).

[edytuj] Przykłady

Funkcja $\scriptstyle \mathrm{Mat}_n(R) \times \mathrm{Mat}_n(R) \to R$ dana wzorem $\scriptstyle (\mathbf A, \mathbf B) \mapsto \mathrm{tr}(\mathbf{AB})$ jest symetryczna. Funkcja $\scriptstyle R^2 \times R^2 \to R$ przekształcająca $(\scriptstyle \binom ac, \binom bd\displaystyle)\scriptstyle \mapsto ad - bc$ (por. wyznacznik^[10]) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy $\scriptstyle \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R,$ czy jego zespolony odpowiednik $\scriptstyle \mathbb C \times \mathbb C \to \mathbb R$ odwzorowujący $\scriptstyle (z, w) \mapsto \mathrm{im}\left(z\overline w\right).$ Jeżeli $\scriptstyle R$ zawiera $\scriptstyle \mathbb Z/2\mathbb Z,$ czyli $\scriptstyle 1 = -1$ w $\scriptstyle R,$ to mnożenie $\scriptstyle R \times R \to R$ jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

[edytuj] Uogólnienia

Jeśli przekształcenie $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N$ jest wieloliniowe, a $\scriptstyle \mathrm g\colon N \to P$ jest liniowe, to ich złożenie $\scriptstyle \mathrm g \circ \mathrm f$ również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli $\scriptstyle \mathrm f$ było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to $\scriptstyle \mathrm g \circ \mathrm f$ ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące) składając istniejące z przekształceniami liniowymi; $\scriptstyle n$ -te przekształcenie tensorowe $\scriptstyle \otimes\colon M^n \to M^{\otimes n}$ odwzorowujące $\scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n)$ w $\scriptstyle \mathsf m_1 \otimes \dots \otimes \mathsf m_n,$ jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na $\scriptstyle M^n,$ a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych $\scriptstyle R$ -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi $\scriptstyle \mathrm f\colon M_1 \times \dots \times M_n \to N$ oraz przekształceniami liniowymi $\scriptstyle \mathrm F\colon M_1 \otimes \dots \otimes M_n \to N$ dana wzorem

$\mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm F(\mathsf m_1 \otimes \dots \otimes \mathsf m_n).$

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli $\scriptstyle X_1, \dots, X_n, Y$ są przestrzeniami unormowanymi nad ciałem $\scriptstyle K,$ to można mówić wtedy o ciągłości przekształcenia wieloliniowego $\scriptstyle \mathrm f\colon X_1 \times \dots \times X_n \to Y;$ jest ono ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista $\scriptstyle M > 0,$ że dla każdego wektora $\scriptstyle (\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n) \in X_1 \times \dots \times X_n$ zachodzi

[edytuj] Zobacz też

forma półtoraliniowa

[edytuj] Bibliografia

Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.

Przypisy

↑ Czasem precyzuje się dział mówiąc o algebrze wieloliniowej.
↑ Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
↑ Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania $\scriptstyle \sigma$ na $\scriptstyle \mathrm f,$ co można zapisać $\scriptstyle (\sigma \cdot \mathrm f)(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n);$ zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas $\scriptstyle \sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot \mathrm f)$ jest równe $\scriptstyle (\sigma_2\sigma_1) \cdot \mathrm f,$ nie zaś $\scriptstyle (\sigma_1 \sigma_2) \cdot \mathrm f,$ co oznacza, że działanie grupy $\scriptstyle S_n$ na zbiorze funkcji $\scriptstyle M^n \to N$ jest prawostronne, a nie lewostronne.
↑ Twierdzenie: Jeśli $\scriptstyle \mathrm f$ jest
- symetryczna, to $\scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n,$
- antysymetryczna, to $\scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \sigma) \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) \text{ dla dowolnej } \sigma \in S_n,$
- alternująca, to $\scriptstyle \mathrm f(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}) = \mathsf 0, \text{ o ile } \mathsf m_{i_s} = \mathsf m_{i_t} \text{ dla } i_s \ne i_t \text{ oraz } n \geqslant 2$
dla dowolnego uporządkowania $\scriptstyle i_1, \dots, i_n$ liczb $\scriptstyle 1, \dots, n.$
Dowód: Uporządkowanie $\scriptstyle i_1, \dots, i_n$ liczb naturalnych $\scriptstyle 1, \dots, n$ stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej $\scriptstyle \iota,$ tj. $\scriptstyle \iota(1) = i_1, \dots, \iota(n) = i_n.$ Jeżeli $\scriptstyle \mathrm f$ jest antysymetryczna, to $\scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}\right) = \mathrm f\left(\mathsf m_{\iota(1)}, \dots, \mathsf m_{\iota(n)}\right) = (\mathrm{sgn}\; \iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n),$ stąd dla dowolnej $\scriptstyle \sigma \in S_n$ zachodzi

$\scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{\sigma(i_1)}, \dots, \mathsf m_{\sigma(i_n)}\right) = \mathrm f\left(\mathsf m_{(\sigma\iota)(1)}, \dots, \mathsf m_{(\sigma\iota)(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma\iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm{sgn}(\sigma) \mathrm{sgn}(\iota) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) = \mathrm{sgn}(\sigma) \mathrm f\left(\mathsf m_{i_1}, \dots, \mathsf m_{i_n}\right).$

Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.
↑ Przypadek $\scriptstyle n = 2$ opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji $\scriptstyle \pi, \varrho \in S_n$ zachodzi $\scriptstyle \mathrm f\left(\mathsf m_{(\pi\varrho)(1)}, \dots, \mathsf m_{(\pi\varrho)(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\pi) \mathrm{sgn}(\varrho) \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n),$ zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla $\scriptstyle \sigma$ generujących $\scriptstyle S_n,$ np. transpozycji postaci $\scriptstyle (i\ i+1);$ innymi słowy należy pokazać, że dla $\scriptstyle (\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_n) \in M^n$ dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N$ spełnia $\scriptstyle \mathrm f(\dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_{i+2}, \dots) = -\mathrm f(\dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf m_{i+1}, \mathsf m_i, \mathsf m_{i+2}, \dots).$ Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe $\scriptstyle \mathrm g(\mathsf x, \mathsf y) = \mathrm f(\mathsf m_1, \dots, \mathsf m_{i-1}, \mathsf x, \mathsf y, \mathsf m_{i+2}, \dots, \mathsf m_n),$ która jest alternujące: z przypadku $\scriptstyle n = 2$ jest ona antysymetryczne, $\scriptstyle \mathrm g(\mathsf x, \mathsf y) = -\mathrm g(\mathsf y, \mathsf x),$ co dowodzi tezy.
↑ W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli $\scriptstyle \mathrm f$ znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to $\scriptstyle \mathrm f$ jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość $\scriptstyle \mathrm f$ dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi $\scriptstyle \mathsf 0.$
↑ Twierdzenie: Niech $\scriptstyle n \geqslant 2;$ jeżeli $\scriptstyle 2 \in R^*,$ to przekształcenie wieloliniowe $\scriptstyle \mathrm f\colon M^n \to N,$ które jest antysymetryczne, jest również alternujące.
Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych $\scriptstyle \mathsf m_i, \mathsf m_j$ zostaną rozważone $\scriptstyle \mathsf m_1, \mathsf m_2.$ Z antysymetrii $\scriptstyle \mathrm f(\mathsf m_2, \mathsf m_1, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m_1, \mathsf m_2, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n),$ stąd $\scriptstyle \mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = -\mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n),$ zatem $\scriptstyle 2\mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0,$ a skoro $\scriptstyle 2 \in R^*,$ to $\scriptstyle \mathrm f(\mathsf m, \mathsf m, \mathsf m_3, \dots, \mathsf m_n) = \mathsf 0.$
↑ W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli $\scriptstyle \mathrm f, \mathrm g \scriptstyle M_1 \times \dots \times M_n \to N$ są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem $\scriptstyle R,$ to określone punktowo odwzorowania $\scriptstyle \mathrm f + \mathrm g$ oraz $\scriptstyle r\mathrm f$ dla $\scriptstyle r \in R$ również są przekształceniami wieloliniowymi.
↑ Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
↑ Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.