Przestrzeń Banacha

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana w której metryka wyznaczona przez normę jest zupełna. Innymi słowy, przestrzeń Banacha to taka przestrzeń unormowana, dla której każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny (do pewnego jej elementu). Istnieją przestrzenie unormowane, które nie są przestrzeniami Banacha (stosowny przykład podany jest w dalszej części artykułu).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze dla p ≥ 1. Norbert Wiener i Stefan Banach zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe

Ciało $K$, traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych $K^n$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci $x = (x_1, \dots, x_n)\in K^n$ norma ta dana jest wzorem

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$.

W przypadku, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, normę tę często oznacza się po prostu $|\cdot |$. Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

$\|x\|_\max = \max_{1\leqslant i\leqslant n} |x_i|$.

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

• Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
• Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych

Przestrzeń $C(\Omega)$, wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (i niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa $\Omega$ z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

$\|f\| = \sup \{|f(x)|\colon\, x \in \Omega\}\,$

Jeśli $A$ jest dowolnym zbiorem, a $(Y, \|\cdot\|_Y)$ jest przestrzenią Banacha, to przestrzeń $B(A,Y)$ funkcji ograniczonych określonych na $A$ i o wartościach w $Y$ jest przestrzenią Banacha z normą

$\|f\|=\sup \{\|f(x)\|_Y\colon\, x\in A\}$.

Przestrzenie l^∞, c i c₀

Przestrzeń

$\ell^\infty=B(\mathbb{N}, K)$,

tj. przestrzeń wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych jest (nieośrodkową) przestrzenią Banacha izometryczną z przestrzenią $C(\beta \mathbb{N})$, gdzie $\beta \mathbb{N}$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie c i c₀ ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni $\ell^\infty$. Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni $\ell^\infty$ jest jednak domknięta:

Przestrzeń c₀₀

Jeśli

$e_k=(0,0,\ldots, 0,1,0,0, \ldots )$

tzn. $e_k$ jest takim ciągiem, który na k-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem $c_{00}$ oznacza się zbiór wszystkich kombinacji liniowych ciągów $e_k$. Innymi słowy elementami przestrzeni $c_{00}$ są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń $c_{00}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $c$ ponieważ suma dwóch ciągłow o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

$\left( \sum_{k=1}^n\frac{e_k}{k}\right)_{n\in \mathbb{N}}$

jest ciągiem Cauchy'ego punktów (ciągów) z przestrzeni $c_{00}$, który jest zbieżny w przestrzeni $c_0$ do ciągu

$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots)\notin c_{00}$,

a zatem przestrzeń $c_{00}$ nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie L^p

Dla ustalnego p ≥ 1, można zdefiniować przestrzenie wszystkich tych ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, że

$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p<\infty$

Przestrzenie te oznacza się symbolem $\ell^p$. Są one przestrzeniami liniowymi (z działaniami określonymi "po współrzędnych") dla których funkcjonał

$\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

jest normą zupełną, a więc są one przestrzeniami Banacha. Przestrzenie te mają swoje uogólnienia na rodziny funkcji całkowalnych w p-tej potędze: Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie ustaloną przestrzenią z miarą oraz niech p ≥ 1. W rodzinie wszystkich tych funkcji $f\colon \Omega \to K$, że $|f|^p$ jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue'a względem miary $\mu$, tzn. takich funkcji, że

$\int\limits_\Omega |f(x)|^p\mu(dx)<\infty$,

można wprowadzić relację równoważności, która utożsamia funkcje równe $\mu$-prawie wszędzie. Symbolem $L^p(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ oznacza się przestrzeń (klas abstrakcji) funkcji całkowalnych w $p$-tej potędze (względem miary $\mu$). Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\|f\|_p=\left(\int\limits_\Omega~|f(x)|^p \mu(dx)\right)^{\frac{1}{p}}$.

Przestrzenie tego typu są istotnie uogólnieniem przestrzeni $\ell^p$. Jeżeli $\Omega$ jest zbiorem liczb naturalnych, $\mathcal{F}$ rodziną wszystkich jego podzbiorów, a $\mu$ jest miarą liczącą na tym zbiorze, to

$\ell^p=L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$.

Rozszerzeniem pojęcia przestrzeni typu $L^p$ są przestrzenie Sobolewa, które w naturalny sposób pojawiły się w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Operatory liniowe ograniczone

Zbiór $L(X;Y)$ wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha $X$ w przestrzeń Banacha $Y$ z normą

$\|T\|=\inf\{A>0\colon \|T(x)\|\leqslant A\|x\|,\; x\in X\}$

jest przestrzenią Banacha. Istnieje następujący wzór na normę operatora liniowego ograniczonego

$\|T\|=\sup_{\|x\|\leqslant 1}\|T(x)\|=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|$,

przy czym druga równość jest prawdziwa o ile $X$ jest różna od przestrzeni $\{0\}$.

Przestrzeń $L(X)= L(X, X)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały:

• ideał operatorów skończonego rzędu (tzn. takich, których obraz jest skończenie wymiarową podprzestrzenią $X$) oraz jego domknięcie, ideał operatorów aproksymowalnych.
• ideał operatorów zwartych,
• ideał operatorów słabo zwartych,
• ideał operatorów ściśle singularnych,
• ideał operatorów, których obraz jest ośrodkową podprzestrzenią $X$

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się

• operatory Fredholma,
• operatory nuklearne,
• operatory Hilberta–Schmidta (w teorii przestrzeni Hilberta).

Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą "wartość bezwzględna") jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$,

podczas gdy szereg

$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni Banacha

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu $x\in X$ istnieje ciąg skalarów $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ taki, że

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$

Oczywiście, jeśli istnieje baza przestrzeni $X$, to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

$\mbox{cl lin}\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}=X$.

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę to jest ona ośrodkowa ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granica ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona). Tak zdefiniowana baza przestrzeni Banacha nie jest oczywiście bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc – wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire'a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Prawdziwe jest także mocniejsze twierdzenie mówiące, że wymiar ten wynosi co najmniej continuum.

Baza Schaudera

Niech $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $X$. Jeśli istnieje taki ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów przestrzeni sprzężonej $X^*$, że

1. $e_k^*(e_j)=0\;$ dla $k\neq j\;$ oraz $e_k^*(e_k)=1$ dla $k\in\mathbb{N}$
2. każdy element $x\in X$ można przedstawić w postaci

$x=\sum_{n=1}^\infty e_n^*(x)e_n$,

to ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni $X$ natomiast ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie ponieważ obie definicje są równażne w klasie przestrzeni Banacha - ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest bazą przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równażne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne

Jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń $L(X, K)$, wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na $X$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem $X^*$ (czasem również $X'$) i nazywa przestrzenią sprzężoną do $X$. Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w $X$ (oznaczanej symbolem $\sigma(X,X^*)$), tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni $X^*$ są ciągłe.

Przestrzeń $X$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $(X^*)^*=X^{**}$ (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi $x$ przestrzeni $X$ funkcjonał $\kappa(x)$ dany wzorem $\kappa(x)x^*=x^*x$. Dowodzi się, że dla każdego $x$ tak określony $\kappa(x)$ jest elementem przestrzeni $X^{**}$ oraz odwzorowanie $\kappa$ jest izometrią. Jeżeli odwzorowanie $\kappa$ jest "na", to przestrzeń $X$ nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ $X^{**}$ jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Bibliografia

• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. T. 1. Warszawa: 1932, seria: Monografie Matematyczne.  Zbl 0005.20901 [1]
• John Horton Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 1985. 
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. ISBN 83-01-09055-3.  (pol.)
• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN, 2002. ISBN 83-01-13375-9.  (pol.)