Przestrzeń Frécheta (topologia)

Przestrzeń Frécheta (zwana czasem przestrzenią Frécheta-Uryshona) – termin w topologii opisujący pewną własność przestrzeni topologicznych. Dawniej określano nim przestrzenie T₁, natomiast w analizie funkcjonalnej termin przestrzeń Frécheta określa specjalnego rodzaju przestrzeni liniowo-topologicznych.

Definicja

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią Frécheta, jeśli dla dowolnego zbioru $A\subseteq X$ i punktu $x\in {\rm cl}A$ można znaleźć ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów zbioru $A$ zbieżny do $x$.

Inaczej mówiąc, przestrzeń Frécheta to taka przestrzeń topologiczna, w której każdy punkt w domknięciu zbioru jest granicą ciągu elementów tego zbioru.

Nazwa tej własności została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta, który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych.

Własności

• Każda przestrzeń spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Frécheta.
• Podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni Frécheta nie musi być przestrzenią Frécheta.
• Każde przekształcenie ilorazowe $f\colon X\to Y$ na przestrzeń Frécheta $Y$, w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na T₂-przestrzeń Frécheta), jest dziedzicznie ilorazowe.