Przestrzeń Hausdorffa

Przestrzeń Hausdorffa to termin w topologii odnoszący się do jednego z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie Hausdorffa są też nazywane przestrzeniami $T_2$ .

Przestrzenie Hausdorffa zostały wprowadzone do matematyki i systematycznie badane przez matematyka niemieckiego Feliksa Hausdorffa. W pierwszych definicjach przestrzeni topologicznej własność opisana przez bycie $T_2$ była jedną z postulowanych własności topologii.

[edytuj] Definicja

Mówimy że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T_2$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U\subseteq X$ i $V\subseteq X$ takie że $x\in U$ i $y\in V$ .

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkty $x,y$ są rozdzielone przez ich otoczenia otwarte $U,V$ .

[edytuj] Przykłady

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest $T_2$ . W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
Każda przestrzeń T₃ jest przestrzenią Hausdorffa.
Istnieją przestrzenie $T_2$ które nie są $T_3$ . Rozważmy na przykład zbior $X=[0,1]$ z topologią $\tau$ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na $[0,1]$ o zbiór $[0,1]\setminus \{\frac{1}{n}:n=2,3,4\ldots\}$ . Wtedy $(X,\tau)$ jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.
Każda przestrzeń $T_2$ jest przestrzenią T₁, ale istnieją przestrzenie $T_1$ które nie są $T_2$ . Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty $\emptyset$ i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $\mathbb{R}\setminus\{1,2,3,4,5\}$ ) jest T₁-, ale nie T₂-przestrzenią; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.

[edytuj] Własności

Przestrzeń $X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna $\{(x,x):\ x\in X\}$ jest zbiorem domkniętym w przestrzeni $X\times X$ .
Załóżmy że $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną i $f,g:X\longrightarrow Y$ są funkcjami ciągłymi. Wtedy zbiór $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$ jest domknięty w $X$ . W szczególności, jeśli $f,g$ zgadzają się na gęstym podziorze $X$ to są one równe.
Ciągi w przestrzeni Hausdorffa, jeśli są zbieżne to mają jedyną granicę.
Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa są zawsze domknięte. Znane są przykłady przestrzeni $T_1$ które nie mają tej wlasności.
Podzbiór przestrzeni $T_2$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_2$ . Własność być przestrzenią $T_2$ jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_2$ jest przestrzenią $T_2$ .