Przestrzeń Hilberta

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona przestrzeń liniowa $H$ z określonym iloczynem skalarnym $\langle x,y \rangle_H$ (czyli przestrzeń unitarna), która jest zupełna w normie zadanej wzorem:

$\|x\|_H=\sqrt{\langle x,x\rangle_H},\, x\in H$ .

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, zamiast $\langle x,y \rangle_H$ często pisze się po prostu $\langle x,y \rangle$.

Każda przestrzeń Hilberta jako przestrzeń unormowana z normą $\|x\|_H$ jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie odróżnia je od geometrii przestrzeni Banacha, niebędących przestrzeniami Hilberta - np. teza twierdzenia o zbiorze wypukłym nie zachodzi dla szerokiej klasy przestrzeni Banacha.

Przestrzenie Hilberta są podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. Do matematyki wprowadził je David Hilbert pod koniec XIX w.. Przestrzenie Hilberta są także podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, między innymi w mechanice kwantowej (zob. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady przestrzeni Hilberta

Przestrzenie euklidesowe

Najprostszym przykładem przestrzeni Hilberta jest zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem jako iloczynem skalarnym. Zbiór wektorów na płaszczyźnie ze "zwykłym" iloczynem skalarnym jest również przestrzenią Hilberta - ogólniej, dla każdej liczby naturalnej N przestrzenie $\mathbb{R}^N$ i $\mathbb{C}^N$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$\langle x,y \rangle=\sum_{j=1}^Nx_j \overline{y_j}$,

gdzie $x=(x_1, \ldots, x_N), y=(y_1, \ldots, y_N)\in \mathbb{R}^N (\mathbb{C}^N)$. W przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^N$ symbol $\overline{\cdot}$ sprzężenia zespolonego można pominąć. Każda (zespolona bądź rzeczywista) przestrzeń skończenie wymiarowa jest przestrzenią Hilberta ponieważ w przestrzeniach tego rodzaju wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekwencji zupełne.

Przestrzenie funkcyjne

• przestrzeń $\ell^2$ i przestrzenie typu L² - szczególnie ważna z punktu widzenia zastosowań (zob. analiza harmoniczna) jest przestrzeń L²(-π,π),
• przestrzeń Sobolewa W^k,2,
• przestrzenie Hardy'ego,

Suma prosta $H_1\oplus H_2$ przestrzeni Hilberta H₁, H₂ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym

$\langle(x_1, y_1),(x_2, y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2}=\langle x_1,x_2\rangle_{H_1}+\langle y_1,y_2\rangle_{H_2}$,

gdzie $x_1, x_2\in H_1,\, y_1, y_2\in H_2$.

Definiuje się również pojęcie sumy prostej dowolnej rodziny przestrzeni Hilberta.

Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta

Jeśli H jest przestrzenią Hilberta, to jej przestrzeń sprzężona H* jest z nią antyliniowo izometrycznie izomorficzna - dokładniej każdemu elementowi $x^*$ przestrzeni $H^*$ odpowiada dokładnie jeden element $a$ z przestrzeni $H$ o tej własności, że

$x^*x=\langle x|a\rangle$ dla wszystkich $x\in H$.

Odwzorowanie $\Phi\colon H\to H^*$ dane wzorem

$\Phi(x)y=\langle y|x \rangle,\, x,y\in H$,

jest szukanym izomorfizmem. Jest to tzw. twierdzenie Riesza (o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta), które można uznać za wniosek z twierdzenia o rzucie ortogonalnym. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne - jeśli w przestrzeni unitarnej $K$ każdy funkcjonał $y^*\in K^*$ daje się wyrazić wzorem

$y^*y=\langle y|b\rangle$ dla pewnego $b\in K$,

to przestrzeń ta jest przestrzenią Hilberta.

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta

Przestrzenie Hilberta dzieli się na

• ośrodkowe, czyli takie, które zawierają przeliczalny podzbiór gęsty,
• nieośrodkowe.

Własności przestrzeni Hilberta różnią się znacznie dla tych dwóch przypadków.

N-wymiarowe rzeczywiste (zespolone) przestrzenie unormowane są liniowo homeomorficzne z przestrzenią $\mathbb{R}^N$ ($\mathbb{C}^N$), a więc da się w nich wprowadzić iloczyn skalarny (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna) ponadto są one zupełne i ośrodkowe, a więc są ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta. Jeśli H jest ośrodkową przestrzenią Hilberta nieskończenie wymiarową, to istnieje taki wzajemnie jednoznaczny operator linoiwy $\Lambda$ określony na H i o wartościach w $\ell^2$, że

$\langle\Lambda x,\Lambda y \rangle_{\ell^2}=\langle x,y\rangle_H$ dla wszystkich elementów $x$ i $y$ przestrzeni $H$.

Odwzorowanie $\Lambda$ można wyrazić wzorem:

$\Lambda x=(\langle x,e_n\rangle)_{n\in\mathbb{N}}$, $x\in H$,

gdzie $\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $H$. Określenie to jest poprawne na podstawie nierówności Bessela.

Innymi słowy, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończenie wymiarowa, ośrodkowa przestrzeń Hilberta. Twierdzenie to można rozszerzyć w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: jeżeli $H$ jest przestrzenią Hilberta o ciężarze $\kappa$, to $H$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią $\ell^2(\kappa)$ (oczywiście, $\ell^2(\aleph_0)=\ell^2$).

Refleksywność

Przestrzenie Hilberta są refleksywne - jest to konsekwencja twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta). Jeśli H jest przestrzenią Hilberta, to na mocy tego twierdzenia istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm $\Lambda \colon H^*\to H$. Jeśli x₀** jest ustalonym elementem przestrzeni X**, to funkcjonał x₀* dany wzorem

$x_0^*x=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))},\, x\in H$

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu $x$ przestrzeni $H$ oraz dowolnego elementu $x^*$ przestrzeni $H^*$:

$\kappa(\Lambda x_0^*)x^*=x^*\Lambda x_0^*=\langle \Lambda x_0^*,\Lambda x^*\rangle =\overline{\langle \Lambda x^*,\Lambda x_0^*\rangle}=\overline{x_0^*\Lambda x^*}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}x^*,$

a zatem

$\kappa(\Lambda x_0^*)=x_0^{**}$,

co oznacza, że odwzorowanie $\kappa$ jest "na".

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne).

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Metody przestrzeni Hilberta. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1959. 
• Paul Halmos: Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity. Chelsea Pub. Co, 1957.