Przestrzeń Lp

Przestrzenie $\ell^p, L^p$ - dla ustalonej liczby dodatniej $p$ - klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg $p$-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w $p$-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku, gdy $p\geqslant 1$, to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie $\ell^2$ oraz $L^2$ są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie $\ell^p$ są szczególnymi przypadkami przestrzeni $L^p$.

Przestrzenie $L^p$ znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Wprowadzenie

W przestrzeni $\mathbb{C}^n$ (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego $p>0$ rozważać funkcję $\|\cdot\|_p\colon \mathbb{C}^n \to [0,\infty)$ daną wzorem

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$,

gdzie $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$. Dla 1 ≤ p < ∞ funkcja ta jest normą wraz z którą $\mathbb{C}^n$ jest przestrzenią Banacha. W przypadku $p=2$ jest to norma euklidesowa.

Przestrzenie ℓ^p

Ciągi liczbowe (o wyrazach z z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

• dodawanie:

$(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n,\ldots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n,\ldots),$

• mnożenie przez skalar:

$\lambda(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n,\ldots),$

gdzie $\lambda$ jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych $V$ z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < ∞ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dla których

$\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty$

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni $V$.

Dopuszczając $p=\infty$ i definiując

$\|x\|_\infty=\sup\{|x_n|\colon\, n\in\mathbb{N}\}$

przestrzeń $\ell^p$ definiuje się jako:

$\ell^p=\{x\in V\colon \|x\|_p<\infty \}$.

Dla $p\in [1,\infty]$ funkcjonał $\|\cdot\|_p$ jest normą w przestrzeni $\ell^p$. Warunek trójkąta dla normy $\|\cdot\|_p$ w przypadku p < ∞ wynika z nierówności Minkowskiego:

$\left(\sum_{n=1}^\infty[|a_n|+|b_n|]^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}+\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}$,

gdzie $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^p$.

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^q\right)^{\tfrac{1}{q}}$,

gdzie $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^p, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^q,\, \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$. W przypadku, gdy $p=1$, umownie $\tfrac{1}{\infty}=0$.

Przykłady

• W przypadku p < ∞, $\|(1,1,1,\ldots )\|_p=\infty$, tzn. ciag $(1,1,1, ...)$ nie jest elementem przestrzeni $\ell^p$. Ciąg ten jest jednak ograniczony, tj. należy do przestrzeni $\ell^\infty$, oraz $\|(1,1,1,\ldots )\|_\infty=1$.
• Ciąg o wyrazie ogólnym $a_n=\tfrac{1}{n}$ nie należy do $\ell^1$, ale dla wszystkich $p>1$ należy do $\ell^p$.

Własności

Przestrzenie Banacha $\ell^p$ dla 1 ≤ p < ∞ są

• ośrodkowe; przestrzeń $\ell^\infty$ jest nieośrodkowa
• jednostajnie wypukłe
• refleksywne p > 1,
• przestrzeń sprzężona do $\ell^p$ jest izomorficznie izometryczna z przestrzenią $\ell^q$, gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ (w przypadku $p=1$ pisze się umownie "$\tfrac{1}{\infty}=0$"),
• przestrzeniami Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy $p=2$.

Przestrzenie $L^p$

Niech $p$ będzie dodatnią liczbą rzeczywistą, $M$ ustaloną liczbą naturalną oraz niech $\Omega\subseteq \mathbb{R}^M$ będzie obszarem. Elementami przestrzeni $L^p(\Omega)$ (w skrócie, po prostu $L^p$ jeśli z góry umawiamy się co do zbioru $\Omega$) są klasy funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a równych prawie wszędzie, określonych na zbiorze $\Omega$, o wartościach rzeczywistych bądź zespolonych, dla których

$\Delta_p(f)=\int\limits_\Omega|f(t)|^pdt<\infty$ .

Przestrzenie L^p dla 0 < p < 1

Dla liczb nieujemnych $a,b$ oraz liczby $0<p<1$ znana jest nierówność:

$(a+b)^p\leqslant a^p+b^p,$

zatem

$\Delta_p(f+g)\leqslant \Delta_p(f)+\Delta_p(g).$

Na mocy powyższego, wzór

$d(f,g)=\Delta_p(f-g)$

definiuje metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni $L^p.$ Metryka ta jest zupełna. Kule $B_r=\{f\in L^p\colon\; \Delta_p(f)<r\}$ tworzą bazę otoczeń tej przestrzeni.

Brak lokalnej wypukłości

Dla wszystkich $r>0$ kula $B_1=r^{-\frac{1}{p}}B_r$, więc $B_1$ jest ograniczona, czyli $L^p$ jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż $\varnothing$ i $L^p$. Brak lokalnej wypukłości ma zaskakującą konsekwencję:

Niech $Y$ będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech $\mathcal{B}$ będzie jej wypukłą lokalną bazą otoczeń. Jeśli $\Lambda\colon L^p\to Y$ jest przekształceniem liniowym i ciągłym oraz $W\in \mathcal{B}$, to $\Lambda^{-1}(W)$ jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem $L^p$. Zatem $\Lambda^{-1}(W)=L^p$. W konsekwencji $\Lambda(L^p)\subseteq W$ dla każdego $W\in \mathcal{B}$, czyli $\Lambda f=0$ dla każdego $f\in L^p$.

Nierówności Höldera i Minkowskiego

Dla przestrzeni $L^p,\; 0<p<1$ można sformułować odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech $0<p<1$ oraz $p^\prime=\tfrac{p}{p-1}<0$. Jeśli $f\in L^p,\; g\in L^{p^\prime}$ oraz $0<\Delta_{p^\prime}(g)<\infty$, to

$\int\limits_E|f(t)g(t)|dt\leqslant \left(\int\limits_E|f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_E|g(t)|^{p^\prime}dt\right)^{\frac{1}{p^\prime}}$.

Nierówność Minkowskiego: Jeśli $0<p<1$ oraz $f,g\in L^p$, to

$\Delta_p(|f|+|g|)^{\frac{1}{p}}\leqslant \Delta_p(f)^{\frac{1}{p}}+\Delta_{p}(g)^{\frac{1}{p}}$.

Przestrzenie L^p dla p≥1

W przypadku, gdy $p\in [1,\infty)$ funkcjonał

$\|f\|_{L^p(\Omega)}=\left( \int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\right)^{\frac{1}{p}}$

jest normą w przestrzeni $L^p(\Omega)$.

Dodatkowo, definiujemy przestrzeń $L^{\infty}(\Omega)$ funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich, że

${\mbox{ess sup}}\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\}:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\setminus A\}\colon\, A\subseteq \Omega, A\in \mathcal{L}_M, l_M(A)=0\}<\infty$,

gdzie $\mathcal{L}_M$ oznaczaj σ-ciało zbiorów mierzalnych względem $M$-wymiarowej miary Lebesgue'a $l_M$.