Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni $L^p$, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do $L^p$. Przestrzenie Sobolewa są szereoko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Konstrukcja

Niech $m$ i $n$ będą ustalonymi liczbami naturalnymi, $p$ będzie liczbą z przedziału [1, ∞] oraz$\Omega$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^{n}$. Przestrzenią Sobolewa $W^{m, p}(\Omega)$ nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji funkcji $u \in L^{p}(\Omega)$ dla których $D^{\alpha}u \in L^{p}(\Omega)$, gdzie $\alpha = (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})\in \mathbb{N}^{n}$ jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

$| \alpha | = \alpha_{1} + \dots + \alpha_{n} \le m$,

oraz symbol $D^{\alpha}u$ oznacza słabą pochodną funkcji $u$ rzędu $\alpha$.

Przestrzeń $W^{m, p}(\Omega)$ jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

$\| u \| _{W^{m, p}} = (\sum_{| \alpha | \le m} \| D^{\alpha}u \| ^{p}_{L^{p}})^{\frac{1}{p}}$,

w przypadku 1 ≤ p < ∞ oraz:

$\| u \| _{W^{m, p}} = \sum_{| \alpha | \le m} \| D^{\alpha} u \| _{L^{\infty}}$

w przypadku p = ∞.

Własności

• $W^{0, p}(\Omega) = L^{p}(\Omega)\,$.
• Przestrzeń $H^{m}(\Omega) := W^{m, 2}(\Omega)\,$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$\langle u, v \rangle_{H^{m}} = \sum_{| \alpha | \le m} \langle D^{\alpha}u , D^{\alpha}v\rangle _{L^{2}}$.

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\Omega)$ dla 1 ≤ p < ∞ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\Omega$ (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m$, tzn.

$N=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~1,$

oraz $L^p_N=L^p(\Omega)\times \ldots \times L^p(\Omega)$. Przestrzeń $L^p_N$ jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(u_1, \ldots, u_N)\|=\left(\sum_{j=1}^N(\|u_j\|_{L^p})^p\right)^{\frac{1}{p}}$.

Przestrzeń sprzężona $(W^{m,p}(\Omega))^*$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji $T$ na $\Omega$, dla których

$T=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~(-1)^{|\alpha|}D^\alpha T_{v_\alpha}$,

dla pewnego $v=(v_\alpha)_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m} \in L_N^q$ oraz $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$. Ponadto,

$\|T\|_Y=\inf \|v\|_{L^q_N}$,

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L^q_N$, dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\Omega))^*$ dla 1 ≤ p < ∞: Przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega))^*$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

$L^q(\Omega):=L^q_\sim$

wyposażonej w normę

$\|v\|_{L^q_\sim}=\sup\{\langle u,v\rangle\colon\, u\in W^{m,p}(\Omega),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega)} \leqslant 1\}$,

tzn.

$(W^{m,p}(\Omega))^*=\overline{L^q_\sim}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$.

Bibliografia

1. Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.