Przestrzeń c0

Przestrzeń c₀ – przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do 0 z normą supremum, tj.

$\|(a_n)_{n=1}^\infty\|=\sup_{n\in \mathbb{N}}|a_n|.$

Przestrzeń c₀ może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych $\ell^\infty$ a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

• Przestrzeń c₀ jest ośrodkową przestrzenią Banacha z bazą Schaudera. Rodzina ciągów (e_n), które na n-tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni.
• Domknięta kula jednostkowa przestrzeni c₀ nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Kreina-Milmana wynika, że c₀ nie jest przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha. W szczególności, przestrzeń c₀ nie jest refleksywna.
• Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni c₀ można utożsamić w sposób izometryczny z przestrzenią $\ell^1$.
• Przestrzeń c₀ jest izomorficzna z przestrzenią c wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm T: c → c₀ dany wzorem T(a) = a - lim a. Przestrzeń c₀ jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.
• Indeks Szlenka przestrzeni c₀ wynosi ω.
• Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni c₀ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią c₀.
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń izomorficzna z c₀ ośrodkowej przestrzeni Banacha X jest dopełnialna, tj. istnieje rzut z X na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z c₀ przestrzeni $\ell^\infty$ nie jest dopełnialna.
• Przestrzeń c₀ nie jest słabo ciągowo zupełna.

Uogólnienie

Dla dowolnego zbioru $\Gamma$ można zdefiniować przestrzeń

$c_0(\Gamma)=\big\{f\colon \Gamma\to \mathbb{C}\colon (\forall \varepsilon>0)(\mbox{card}\{s\in \Gamma\colon |f(s)|\geqslant\varepsilon\}<\aleph_0)\big\},$

która jest z normą supremum przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru $\Gamma$ przestrzeń ta jest typu WCG. Gdy zbiór $\Gamma$ jest przeliczalny przestrzeń ta jest izomorficzna z klasyczną przestrzenią c₀.

Bibliografia

• Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, ISBN 3540606289.
• Musielak J. Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989,