Przestrzeń Tichonowa

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej $X$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego podzbioru $F$ przestrzeni $X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć taką funkcję ciągłą $f\colon X\longrightarrow [0,1]$, że $f(x)=0$ i $f(y)=1$ dla wszystkich punktów $y$ ze zbioru $F$.

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T_3½ i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii definiuje

• przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
• przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje

• bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią $T_{3\frac{1}{2}}$ i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

• przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
• przestrzenie normalne,
• grupy topologiczne będące przestrzeniami T₁,
• płaszczyzna Niemyckiego.

Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T_3½ jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T₄.

Znane są przykłady przestrzeni T₃ które nie są całkowicie regularne. Na przykład, podzbiór

$M=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y\geqslant 0\}\cup\{(0,-1)\}$

płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń ${\mathcal B}(x,y)$ określoną dla każdego elementu $(x,y)$ zbioru $M$ i opisaną warunkami:

• jeśli $y>0$, to ${\mathcal B}(x,y)=\{\{(x,y)\}\}$,
• jeśli $y=0$, to ${\mathcal B}(x,y)$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci

$\{(x,v)\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup\{(x+v,v)\in {\mathbb R}^2:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B$, gdzie $B$ jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru $M$,

• ${\mathcal B}(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\ldots\}$, gdzie

$U_i=\{(0,-1)\}\cup\{(u,v)\in {\mathbb R}^2:i\leqslant u\}$.

jest przestrzenią T₃, która jest przestrzenią T_3½.

Własności

• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T₃.
• Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T_3½ jest przestrzenią T_3½.
• Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źrodeł zainteresowania przestrzeniami T_3½, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń regularna ($T_3$),
• przestrzeń normalna ($T_4$).